Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27965 / 14526
↖ ↑ ↗
← N 70.263163°
W 26.383667°		 ← 206.28 m → N 70.263163°
W 26.378174°		 →
↑
206.29 m
↓
↑
206.29 m
↓
N 70.261307°
W 26.383667°		 ← 206.30 m →
42 557 m²		 N 70.261307°
W 26.378174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426719665527344 y=0.221656799316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426719665527344 × 216)
    floor (0.426719665527344 × 65536)
    floor (27965.5)     		tx = 27965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221656799316406 × 216)
    floor (0.221656799316406 × 65536)
    floor (14526.5)     		ty = 14526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27965 / 14526 ti = "16/27965/14526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27965/14526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27965 ÷ 216
    27965 ÷ 65536     		x = 0.426712036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14526 ÷ 216
    14526 ÷ 65536     		y = 0.221649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426712036132812 × 2 - 1) × π
    -0.146575927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46048186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221649169921875 × 2 - 1) × π
    0.55670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74892984573813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46048186} λ = -0.46048186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74892984573813))-π/2
    2×atan(5.74844765742372)-π/2
    2×1.39855992696647-π/2
    2.79711985393293-1.57079632675     		φ = 1.22632353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46048186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.383667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22632353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.263163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27965 KachelY 14526 -0.46048186 1.22632353 -26.383667 70.263163
    Oben rechts KachelX + 1 27966 KachelY 14526 -0.46038598 1.22632353 -26.378174 70.263163
    Unten links KachelX 27965 KachelY + 1 14527 -0.46048186 1.22629115 -26.383667 70.261307
    Unten rechts KachelX + 1 27966 KachelY + 1 14527 -0.46038598 1.22629115 -26.378174 70.261307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22632353-1.22629115) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dl = 206.292979999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22632353-1.22629115) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dr = 206.292979999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46048186--0.46038598) × cos(1.22632353) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.337700492276181 × 6371000     		do = 206.284845503737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46048186--0.46038598) × cos(1.22629115) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.337730969891363 × 6371000     		du = 206.303462800078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22632353)-sin(1.22629115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337700492276181-0.337730969891363)×R²
    abs(-0.46038598--0.46048186)×3.04776151828223e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.04776151828223e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.04776151828223e-05×40589641000000     		ar = 42557.0358202351m²