Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27964 / 38339
↖ ↑ ↗
← N 59.619158°
W103.194580°		 ← 154.44 m → N 59.619158°
W103.191834°		 →
↑
154.50 m
↓
↑
154.50 m
↓
N 59.617769°
W103.194580°		 ← 154.44 m →
23 860 m²		 N 59.617769°
W103.191834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213352203369141 y=0.292507171630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213352203369141 × 217)
    floor (0.213352203369141 × 131072)
    floor (27964.5)     		tx = 27964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292507171630859 × 217)
    floor (0.292507171630859 × 131072)
    floor (38339.5)     		ty = 38339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27964 / 38339 ti = "17/27964/38339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27964/38339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27964 ÷ 217
    27964 ÷ 131072     		x = 0.213348388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38339 ÷ 217
    38339 ÷ 131072     		y = 0.292503356933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.213348388671875 × 2 - 1) × π
    -0.57330322265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.80108519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292503356933594 × 2 - 1) × π
    0.414993286132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.30373985896667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80108519} λ = -1.80108519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30373985896667))-π/2
    2×atan(3.68304501207333)-π/2
    2×1.3056734679144-π/2
    2.61134693582881-1.57079632675     		φ = 1.04055061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80108519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.194580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04055061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.619158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27964 KachelY 38339 -1.80108519 1.04055061 -103.194580 59.619158
    Oben rechts KachelX + 1 27965 KachelY 38339 -1.80103726 1.04055061 -103.191834 59.619158
    Unten links KachelX 27964 KachelY + 1 38340 -1.80108519 1.04052636 -103.194580 59.617769
    Unten rechts KachelX + 1 27965 KachelY + 1 38340 -1.80103726 1.04052636 -103.191834 59.617769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04055061-1.04052636) × R
    2.42499999998369e-05 × 6371000     		dl = 154.496749998961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04055061-1.04052636) × R
    2.42499999998369e-05 × 6371000     		dr = 154.496749998961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80108519--1.80103726) × cos(1.04055061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.505745332129466 × 6371000     		do = 154.435421282173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80108519--1.80103726) × cos(1.04052636) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.5057662520393 × 6371000     		du = 154.441809428307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04055061)-sin(1.04052636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505745332129466-0.5057662520393)×R²
    abs(-1.80103726--1.80108519)×2.09199098339941e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.09199098339941e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.09199098339941e-05×40589641000000     		ar = 23860.2641478723m²