Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27961 / 8524
↖ ↑ ↗
← N 78.823295°
W 26.405639°		 ← 118.39 m → N 78.823295°
W 26.400147°		 →
↑
118.37 m
↓
↑
118.37 m
↓
N 78.822231°
W 26.405639°		 ← 118.40 m →
14 015 m²		 N 78.822231°
W 26.400147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426658630371094 y=0.130073547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426658630371094 × 216)
    floor (0.426658630371094 × 65536)
    floor (27961.5)     		tx = 27961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130073547363281 × 216)
    floor (0.130073547363281 × 65536)
    floor (8524.5)     		ty = 8524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27961 / 8524 ti = "16/27961/8524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27961/8524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27961 ÷ 216
    27961 ÷ 65536     		x = 0.426651000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8524 ÷ 216
    8524 ÷ 65536     		y = 0.13006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426651000976562 × 2 - 1) × π
    -0.146697998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46086535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13006591796875 × 2 - 1) × π
    0.7398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32436438877728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46086535} λ = -0.46086535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32436438877728))-π/2
    2×atan(10.2201819585174)-π/2
    2×1.47326117955901-π/2
    2.94652235911803-1.57079632675     		φ = 1.37572603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46086535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.405639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37572603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.823295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27961 KachelY 8524 -0.46086535 1.37572603 -26.405639 78.823295
    Oben rechts KachelX + 1 27962 KachelY 8524 -0.46076948 1.37572603 -26.400147 78.823295
    Unten links KachelX 27961 KachelY + 1 8525 -0.46086535 1.37570745 -26.405639 78.822231
    Unten rechts KachelX + 1 27962 KachelY + 1 8525 -0.46076948 1.37570745 -26.400147 78.822231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37572603-1.37570745) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dl = 118.373180000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37572603-1.37570745) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dr = 118.373180000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46086535--0.46076948) × cos(1.37572603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193835498990413 × 6371000     		do = 118.392352175189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46086535--0.46076948) × cos(1.37570745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193853726569528 × 6371000     		du = 118.403485357589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37572603)-sin(1.37570745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193835498990413-0.193853726569528)×R²
    abs(-0.46076948--0.46086535)×1.82275791153763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82275791153763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82275791153763e-05×40589641000000     		ar = 14015.1381502618m²