Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27960 / 7769
↖ ↑ ↗
← N 79.599293°
W 26.411133°		 ← 110.28 m → N 79.599293°
W 26.405639°		 →
↑
110.28 m
↓
↑
110.28 m
↓
N 79.598301°
W 26.411133°		 ← 110.29 m →
12 162 m²		 N 79.598301°
W 26.405639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426643371582031 y=0.118553161621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426643371582031 × 216)
    floor (0.426643371582031 × 65536)
    floor (27960.5)     		tx = 27960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118553161621094 × 216)
    floor (0.118553161621094 × 65536)
    floor (7769.5)     		ty = 7769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27960 / 7769 ti = "16/27960/7769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27960/7769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27960 ÷ 216
    27960 ÷ 65536     		x = 0.4266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7769 ÷ 216
    7769 ÷ 65536     		y = 0.118545532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.146728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46096123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118545532226562 × 2 - 1) × π
    0.762908935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39674910720357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46096123} λ = -0.46096123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39674910720357))-π/2
    2×atan(10.9873994010231)-π/2
    2×1.48003303852036-π/2
    2.96006607704073-1.57079632675     		φ = 1.38926975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46096123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.411133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38926975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.599293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27960 KachelY 7769 -0.46096123 1.38926975 -26.411133 79.599293
    Oben rechts KachelX + 1 27961 KachelY 7769 -0.46086535 1.38926975 -26.405639 79.599293
    Unten links KachelX 27960 KachelY + 1 7770 -0.46096123 1.38925244 -26.411133 79.598301
    Unten rechts KachelX + 1 27961 KachelY + 1 7770 -0.46086535 1.38925244 -26.405639 79.598301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38926975-1.38925244) × R
    1.73100000000481e-05 × 6371000     		dl = 110.282010000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38926975-1.38925244) × R
    1.73100000000481e-05 × 6371000     		dr = 110.282010000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46096123--0.46086535) × cos(1.38926975) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.180531277185183 × 6371000     		do = 110.277797854851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46096123--0.46086535) × cos(1.38925244) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.180548302741751 × 6371000     		du = 110.288197941278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38926975)-sin(1.38925244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180531277185183-0.180548302741751)×R²
    abs(-0.46086535--0.46096123)×1.7025556567879e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.7025556567879e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.7025556567879e-05×40589641000000     		ar = 12162.2306772534m²