Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27958 / 7770
↖ ↑ ↗
← N 79.598301°
W 26.422119°		 ← 110.28 m → N 79.598301°
W 26.416626°		 →
↑
110.28 m
↓
↑
110.28 m
↓
N 79.597310°
W 26.422119°		 ← 110.29 m →
12 162 m²		 N 79.597310°
W 26.416626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426612854003906 y=0.118568420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426612854003906 × 216)
    floor (0.426612854003906 × 65536)
    floor (27958.5)     		tx = 27958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118568420410156 × 216)
    floor (0.118568420410156 × 65536)
    floor (7770.5)     		ty = 7770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27958 / 7770 ti = "16/27958/7770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27958/7770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27958 ÷ 216
    27958 ÷ 65536     		x = 0.426605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7770 ÷ 216
    7770 ÷ 65536     		y = 0.118560791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426605224609375 × 2 - 1) × π
    -0.14678955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46115297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118560791015625 × 2 - 1) × π
    0.76287841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39665323340433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46115297} λ = -0.46115297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39665323340433))-π/2
    2×atan(10.9863460477941)-π/2
    2×1.48002438400262-π/2
    2.96004876800523-1.57079632675     		φ = 1.38925244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46115297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.422119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38925244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.598301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27958 KachelY 7770 -0.46115297 1.38925244 -26.422119 79.598301
    Oben rechts KachelX + 1 27959 KachelY 7770 -0.46105710 1.38925244 -26.416626 79.598301
    Unten links KachelX 27958 KachelY + 1 7771 -0.46115297 1.38923513 -26.422119 79.597310
    Unten rechts KachelX + 1 27959 KachelY + 1 7771 -0.46105710 1.38923513 -26.416626 79.597310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38925244-1.38923513) × R
    1.73099999998261e-05 × 6371000     		dl = 110.282009998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38925244-1.38923513) × R
    1.73099999998261e-05 × 6371000     		dr = 110.282009998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46115297--0.46105710) × cos(1.38925244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180548302741751 × 6371000     		do = 110.276695208917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46115297--0.46105710) × cos(1.38923513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18056532824422 × 6371000     		du = 110.287094177603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38925244)-sin(1.38923513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180548302741751-0.18056532824422)×R²
    abs(-0.46105710--0.46115297)×1.70255024688759e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70255024688759e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70255024688759e-05×40589641000000     		ar = 12162.1090136318m²