Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27956 / 43468
↖ ↑ ↗
← S 50.555325°
W 26.433105°		 ← 388.05 m → S 50.555325°
W 26.427612°		 →
↑
387.99 m
↓
↑
387.99 m
↓
S 50.558815°
W 26.433105°		 ← 388.02 m →
150 557 m²		 S 50.558815°
W 26.427612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426582336425781 y=0.663276672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426582336425781 × 216)
    floor (0.426582336425781 × 65536)
    floor (27956.5)     		tx = 27956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663276672363281 × 216)
    floor (0.663276672363281 × 65536)
    floor (43468.5)     		ty = 43468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27956 / 43468 ti = "16/27956/43468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27956/43468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27956 ÷ 216
    27956 ÷ 65536     		x = 0.42657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43468 ÷ 216
    43468 ÷ 65536     		y = 0.66326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.1468505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46134472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66326904296875 × 2 - 1) × π
    -0.3265380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0258496518692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46134472} λ = -0.46134472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0258496518692))-π/2
    2×atan(0.358491742790858)-π/2
    2×0.344219725726406-π/2
    0.688439451452812-1.57079632675     		φ = -0.88235688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46134472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.433105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88235688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.555325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27956 KachelY 43468 -0.46134472 -0.88235688 -26.433105 -50.555325
    Oben rechts KachelX + 1 27957 KachelY 43468 -0.46124885 -0.88235688 -26.427612 -50.555325
    Unten links KachelX 27956 KachelY + 1 43469 -0.46134472 -0.88241778 -26.433105 -50.558815
    Unten rechts KachelX + 1 27957 KachelY + 1 43469 -0.46124885 -0.88241778 -26.427612 -50.558815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88235688--0.88241778) × R
    6.09000000000304e-05 × 6371000     		dl = 387.993900000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88235688--0.88241778) × R
    6.09000000000304e-05 × 6371000     		dr = 387.993900000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46134472--0.46124885) × cos(-0.88235688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63533283718214 × 6371000     		do = 388.053526830244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46134472--0.46124885) × cos(-0.88241778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635285806683885 × 6371000     		du = 388.024801177093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88235688)-sin(-0.88241778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63533283718214-0.635285806683885)×R²
    abs(-0.46124885--0.46134472)×4.70304982553849e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70304982553849e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70304982553849e-05×40589641000000     		ar = 150556.828641336m²