Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27955 / 43462
↖ ↑ ↗
← S 50.534380°
W 26.438599°		 ← 388.27 m → S 50.534380°
W 26.433105°		 →
↑
388.25 m
↓
↑
388.25 m
↓
S 50.537872°
W 26.438599°		 ← 388.24 m →
150 738 m²		 S 50.537872°
W 26.433105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426567077636719 y=0.663185119628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426567077636719 × 216)
    floor (0.426567077636719 × 65536)
    floor (27955.5)     		tx = 27955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663185119628906 × 216)
    floor (0.663185119628906 × 65536)
    floor (43462.5)     		ty = 43462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27955 / 43462 ti = "16/27955/43462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27955/43462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27955 ÷ 216
    27955 ÷ 65536     		x = 0.426559448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43462 ÷ 216
    43462 ÷ 65536     		y = 0.663177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426559448242188 × 2 - 1) × π
    -0.146881103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46144060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.32635498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02527440907376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46144060} λ = -0.46144060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02527440907376))-π/2
    2×atan(0.358698021907723)-π/2
    2×0.34440250163579-π/2
    0.68880500327158-1.57079632675     		φ = -0.88199132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46144060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.438599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88199132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.534380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27955 KachelY 43462 -0.46144060 -0.88199132 -26.438599 -50.534380
    Oben rechts KachelX + 1 27956 KachelY 43462 -0.46134472 -0.88199132 -26.433105 -50.534380
    Unten links KachelX 27955 KachelY + 1 43463 -0.46144060 -0.88205226 -26.438599 -50.537872
    Unten rechts KachelX + 1 27956 KachelY + 1 43463 -0.46134472 -0.88205226 -26.433105 -50.537872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88199132--0.88205226) × R
    6.09400000000093e-05 × 6371000     		dl = 388.248740000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88199132--0.88205226) × R
    6.09400000000093e-05 × 6371000     		dr = 388.248740000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46144060--0.46134472) × cos(-0.88199132) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.635615094203651 × 6371000     		do = 388.26642100461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46144060--0.46134472) × cos(-0.88205226) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.635568046970384 × 6371000     		du = 388.237682132539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88199132)-sin(-0.88205226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635615094203651-0.635568046970384)×R²
    abs(-0.46134472--0.46144060)×4.70472332670946e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70472332670946e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70472332670946e-05×40589641000000     		ar = 150738.369870872m²