Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27952 / 37040
↖ ↑ ↗
← N 61.375673°
W103.227539°		 ← 146.32 m → N 61.375673°
W103.224793°		 →
↑
146.34 m
↓
↑
146.34 m
↓
N 61.374357°
W103.227539°		 ← 146.32 m →
21 413 m²		 N 61.374357°
W103.224793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213260650634766 y=0.282596588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213260650634766 × 217)
    floor (0.213260650634766 × 131072)
    floor (27952.5)     		tx = 27952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282596588134766 × 217)
    floor (0.282596588134766 × 131072)
    floor (37040.5)     		ty = 37040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27952 / 37040 ti = "17/27952/37040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27952/37040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27952 ÷ 217
    27952 ÷ 131072     		x = 0.2132568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37040 ÷ 217
    37040 ÷ 131072     		y = 0.2825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2132568359375 × 2 - 1) × π
    -0.573486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.80166044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2825927734375 × 2 - 1) × π
    0.434814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.36600989157312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80166044} λ = -1.80166044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36600989157312))-π/2
    2×atan(3.9196795051637)-π/2
    2×1.32100195338203-π/2
    2.64200390676406-1.57079632675     		φ = 1.07120758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80166044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07120758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.375673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27952 KachelY 37040 -1.80166044 1.07120758 -103.227539 61.375673
    Oben rechts KachelX + 1 27953 KachelY 37040 -1.80161250 1.07120758 -103.224793 61.375673
    Unten links KachelX 27952 KachelY + 1 37041 -1.80166044 1.07118461 -103.227539 61.374357
    Unten rechts KachelX + 1 27953 KachelY + 1 37041 -1.80161250 1.07118461 -103.224793 61.374357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07120758-1.07118461) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dl = 146.341870000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07120758-1.07118461) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dr = 146.341870000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80166044--1.80161250) × cos(1.07120758) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479064589430628 × 6371000     		do = 146.31865673455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80166044--1.80161250) × cos(1.07118461) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479084751902873 × 6371000     		du = 146.324814872555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07120758)-sin(1.07118461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479064589430628-0.479084751902873)×R²
    abs(-1.80161250--1.80166044)×2.0162472244567e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0162472244567e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0162472244567e-05×40589641000000     		ar = 21412.9964401784m²