Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27952 / 21809
↖ ↑ ↗
← N 51.450584°
W 26.455078°		 ← 380.68 m → N 51.450584°
W 26.449585°		 →
↑
380.67 m
↓
↑
380.67 m
↓
N 51.447160°
W 26.455078°		 ← 380.70 m →
144 916 m²		 N 51.447160°
W 26.449585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426521301269531 y=0.332786560058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426521301269531 × 216)
    floor (0.426521301269531 × 65536)
    floor (27952.5)     		tx = 27952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332786560058594 × 216)
    floor (0.332786560058594 × 65536)
    floor (21809.5)     		ty = 21809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27952 / 21809 ti = "16/27952/21809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27952/21809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27952 ÷ 216
    27952 ÷ 65536     		x = 0.426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21809 ÷ 216
    21809 ÷ 65536     		y = 0.332778930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.14697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46172822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332778930664062 × 2 - 1) × π
    0.334442138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05068096587239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46172822} λ = -0.46172822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05068096587239))-π/2
    2×atan(2.85959774366734)-π/2
    2×1.23438920770324-π/2
    2.46877841540648-1.57079632675     		φ = 0.89798209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46172822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.455078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89798209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.450584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27952 KachelY 21809 -0.46172822 0.89798209 -26.455078 51.450584
    Oben rechts KachelX + 1 27953 KachelY 21809 -0.46163234 0.89798209 -26.449585 51.450584
    Unten links KachelX 27952 KachelY + 1 21810 -0.46172822 0.89792234 -26.455078 51.447160
    Unten rechts KachelX + 1 27953 KachelY + 1 21810 -0.46163234 0.89792234 -26.449585 51.447160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89798209-0.89792234) × R
    5.9749999999914e-05 × 6371000     		dl = 380.667249999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89798209-0.89792234) × R
    5.9749999999914e-05 × 6371000     		dr = 380.667249999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46172822--0.46163234) × cos(0.89798209) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.623189384816852 × 6371000     		do = 380.676158035855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46172822--0.46163234) × cos(0.89792234) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.623236112444431 × 6371000     		du = 380.704701676318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89798209)-sin(0.89792234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623189384816852-0.623236112444431)×R²
    abs(-0.46163234--0.46172822)×4.67276275791795e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.67276275791795e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.67276275791795e-05×40589641000000     		ar = 144916.379077233m²