Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27951 / 37039
↖ ↑ ↗
← N 61.376989°
W103.230286°		 ← 146.28 m → N 61.376989°
W103.227539°		 →
↑
146.28 m
↓
↑
146.28 m
↓
N 61.375673°
W103.230286°		 ← 146.29 m →
21 398 m²		 N 61.375673°
W103.227539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213253021240234 y=0.282588958740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213253021240234 × 217)
    floor (0.213253021240234 × 131072)
    floor (27951.5)     		tx = 27951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282588958740234 × 217)
    floor (0.282588958740234 × 131072)
    floor (37039.5)     		ty = 37039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27951 / 37039 ti = "17/27951/37039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27951/37039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27951 ÷ 217
    27951 ÷ 131072     		x = 0.213249206542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37039 ÷ 217
    37039 ÷ 131072     		y = 0.282585144042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.213249206542969 × 2 - 1) × π
    -0.573501586914062 × 3.1415926535     		Λ = -1.80170837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282585144042969 × 2 - 1) × π
    0.434829711914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.36605782847274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80170837} λ = -1.80170837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36605782847274))-π/2
    2×atan(3.91986740695036)-π/2
    2×1.32101343557602-π/2
    2.64202687115204-1.57079632675     		φ = 1.07123054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80170837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.230286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07123054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.376989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27951 KachelY 37039 -1.80170837 1.07123054 -103.230286 61.376989
    Oben rechts KachelX + 1 27952 KachelY 37039 -1.80166044 1.07123054 -103.227539 61.376989
    Unten links KachelX 27951 KachelY + 1 37040 -1.80170837 1.07120758 -103.230286 61.375673
    Unten rechts KachelX + 1 27952 KachelY + 1 37040 -1.80166044 1.07120758 -103.227539 61.375673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07123054-1.07120758) × R
    2.29599999999053e-05 × 6371000     		dl = 146.278159999397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07123054-1.07120758) × R
    2.29599999999053e-05 × 6371000     		dr = 146.278159999397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80170837--1.80166044) × cos(1.07123054) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.479044435483526 × 6371000     		do = 146.281981279543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80170837--1.80166044) × cos(1.07120758) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.479064589430628 × 6371000     		du = 146.288135529743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07123054)-sin(1.07120758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479044435483526-0.479064589430628)×R²
    abs(-1.80166044--1.80170837)×2.01539471024192e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01539471024192e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01539471024192e-05×40589641000000     		ar = 21398.309179675m²