Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27951 / 21808
↖ ↑ ↗
← N 51.454007°
W 26.460571°		 ← 380.61 m → N 51.454007°
W 26.455078°		 →
↑
380.60 m
↓
↑
380.60 m
↓
N 51.450584°
W 26.460571°		 ← 380.64 m →
144 866 m²		 N 51.450584°
W 26.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426506042480469 y=0.332771301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426506042480469 × 216)
    floor (0.426506042480469 × 65536)
    floor (27951.5)     		tx = 27951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332771301269531 × 216)
    floor (0.332771301269531 × 65536)
    floor (21808.5)     		ty = 21808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27951 / 21808 ti = "16/27951/21808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27951/21808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27951 ÷ 216
    27951 ÷ 65536     		x = 0.426498413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21808 ÷ 216
    21808 ÷ 65536     		y = 0.332763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426498413085938 × 2 - 1) × π
    -0.147003173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46182409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332763671875 × 2 - 1) × π
    0.33447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05077683967163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46182409} λ = -0.46182409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05077683967163))-π/2
    2×atan(2.85987191731015)-π/2
    2×1.23441908035032-π/2
    2.46883816070064-1.57079632675     		φ = 0.89804183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46182409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.460571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89804183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.454007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27951 KachelY 21808 -0.46182409 0.89804183 -26.460571 51.454007
    Oben rechts KachelX + 1 27952 KachelY 21808 -0.46172822 0.89804183 -26.455078 51.454007
    Unten links KachelX 27951 KachelY + 1 21809 -0.46182409 0.89798209 -26.460571 51.450584
    Unten rechts KachelX + 1 27952 KachelY + 1 21809 -0.46172822 0.89798209 -26.455078 51.450584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89804183-0.89798209) × R
    5.97400000000858e-05 × 6371000     		dl = 380.603540000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89804183-0.89798209) × R
    5.97400000000858e-05 × 6371000     		dr = 380.603540000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46182409--0.46172822) × cos(0.89804183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62314266278553 × 6371000     		do = 380.607917394627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46182409--0.46172822) × cos(0.89798209) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623189384816852 × 6371000     		du = 380.636454639949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89804183)-sin(0.89798209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62314266278553-0.623189384816852)×R²
    abs(-0.46172822--0.46182409)×4.67220313223882e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67220313223882e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67220313223882e-05×40589641000000     		ar = 144866.151444362m²