Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2795 / 1510
↖ ↑ ↗
← N 81.181231°
W118.586426°		 ← 374.58 m → N 81.181231°
W118.564453°		 →
↑
374.68 m
↓
↑
374.68 m
↓
N 81.177861°
W118.586426°		 ← 374.72 m →
140 373 m²		 N 81.177861°
W118.564453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170623779296875 y=0.092193603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170623779296875 × 214)
    floor (0.170623779296875 × 16384)
    floor (2795.5)     		tx = 2795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.092193603515625 × 214)
    floor (0.092193603515625 × 16384)
    floor (1510.5)     		ty = 1510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2795 / 1510 ti = "14/2795/1510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2795/1510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2795 ÷ 214
    2795 ÷ 16384     		x = 0.17059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1510 ÷ 214
    1510 ÷ 16384     		y = 0.0921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.6588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.06972358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0921630859375 × 2 - 1) × π
    0.815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56251490608972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06972358} λ = -2.06972358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56251490608972))-π/2
    2×atan(12.9683906235226)-π/2
    2×1.49383804748372-π/2
    2.98767609496743-1.57079632675     		φ = 1.41687977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06972358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41687977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.181231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2795 KachelY 1510 -2.06972358 1.41687977 -118.586426 81.181231
    Oben rechts KachelX + 1 2796 KachelY 1510 -2.06934008 1.41687977 -118.564453 81.181231
    Unten links KachelX 2795 KachelY + 1 1511 -2.06972358 1.41682096 -118.586426 81.177861
    Unten rechts KachelX + 1 2796 KachelY + 1 1511 -2.06934008 1.41682096 -118.564453 81.177861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41687977-1.41682096) × R
    5.88100000000757e-05 × 6371000     		dl = 374.678510000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41687977-1.41682096) × R
    5.88100000000757e-05 × 6371000     		dr = 374.678510000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06972358--2.06934008) × cos(1.41687977) × R
    0.00038349999999987 × 0.15330955451152 × 6371000     		do = 374.577938382448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06972358--2.06934008) × cos(1.41682096) × R
    0.00038349999999987 × 0.153367669007069 × 6371000     		du = 374.719928279962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41687977)-sin(1.41682096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15330955451152-0.153367669007069)×R²
    abs(-2.06934008--2.06972358)×5.81144955491275e-05×R²
    0.00038349999999987×5.81144955491275e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.81144955491275e-05×40589641000000     		ar = 140372.904154234m²