Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27948 / 21868
↖ ↑ ↗
← N 51.248163°
W 26.477051°		 ← 382.32 m → N 51.248163°
W 26.471558°		 →
↑
382.32 m
↓
↑
382.32 m
↓
N 51.244725°
W 26.477051°		 ← 382.35 m →
146 176 m²		 N 51.244725°
W 26.471558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426460266113281 y=0.333686828613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426460266113281 × 216)
    floor (0.426460266113281 × 65536)
    floor (27948.5)     		tx = 27948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333686828613281 × 216)
    floor (0.333686828613281 × 65536)
    floor (21868.5)     		ty = 21868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27948 / 21868 ti = "16/27948/21868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27948/21868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27948 ÷ 216
    27948 ÷ 65536     		x = 0.42645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21868 ÷ 216
    21868 ÷ 65536     		y = 0.33367919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.1470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46211171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33367919921875 × 2 - 1) × π
    0.3326416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04502441171722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46211171} λ = -0.46211171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04502441171722))-π/2
    2×atan(2.84346793673973)-π/2
    2×1.23262275475049-π/2
    2.46524550950098-1.57079632675     		φ = 0.89444918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46211171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.477051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89444918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.248163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27948 KachelY 21868 -0.46211171 0.89444918 -26.477051 51.248163
    Oben rechts KachelX + 1 27949 KachelY 21868 -0.46201584 0.89444918 -26.471558 51.248163
    Unten links KachelX 27948 KachelY + 1 21869 -0.46211171 0.89438917 -26.477051 51.244725
    Unten rechts KachelX + 1 27949 KachelY + 1 21869 -0.46201584 0.89438917 -26.471558 51.244725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89444918-0.89438917) × R
    6.00099999999992e-05 × 6371000     		dl = 382.323709999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89444918-0.89438917) × R
    6.00099999999992e-05 × 6371000     		dr = 382.323709999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46211171--0.46201584) × cos(0.89444918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625948476243417 × 6371000     		do = 382.321673939606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46211171--0.46201584) × cos(0.89438917) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625995274779823 × 6371000     		du = 382.350257913297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89444918)-sin(0.89438917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625948476243417-0.625995274779823)×R²
    abs(-0.46201584--0.46211171)×4.67985364064338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67985364064338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67985364064338e-05×40589641000000     		ar = 146176.105003531m²