Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27945 / 8529
↖ ↑ ↗
← N 78.817970°
W 26.493530°		 ← 118.45 m → N 78.817970°
W 26.488037°		 →
↑
118.44 m
↓
↑
118.44 m
↓
N 78.816905°
W 26.493530°		 ← 118.46 m →
14 029 m²		 N 78.816905°
W 26.488037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426414489746094 y=0.130149841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426414489746094 × 216)
    floor (0.426414489746094 × 65536)
    floor (27945.5)     		tx = 27945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130149841308594 × 216)
    floor (0.130149841308594 × 65536)
    floor (8529.5)     		ty = 8529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27945 / 8529 ti = "16/27945/8529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27945/8529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27945 ÷ 216
    27945 ÷ 65536     		x = 0.426406860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8529 ÷ 216
    8529 ÷ 65536     		y = 0.130142211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426406860351562 × 2 - 1) × π
    -0.147186279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46239933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130142211914062 × 2 - 1) × π
    0.739715576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32388501978108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46239933} λ = -0.46239933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32388501978108))-π/2
    2×atan(10.2152838942348)-π/2
    2×1.47321470926923-π/2
    2.94642941853846-1.57079632675     		φ = 1.37563309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46239933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.493530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37563309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.817970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27945 KachelY 8529 -0.46239933 1.37563309 -26.493530 78.817970
    Oben rechts KachelX + 1 27946 KachelY 8529 -0.46230346 1.37563309 -26.488037 78.817970
    Unten links KachelX 27945 KachelY + 1 8530 -0.46239933 1.37561450 -26.493530 78.816905
    Unten rechts KachelX + 1 27946 KachelY + 1 8530 -0.46230346 1.37561450 -26.488037 78.816905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37563309-1.37561450) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dl = 118.436890000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37563309-1.37561450) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dr = 118.436890000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46239933--0.46230346) × cos(1.37563309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193926675457353 × 6371000     		do = 118.448041646108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46239933--0.46230346) × cos(1.37561450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193944912511778 × 6371000     		du = 118.459180615911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37563309)-sin(1.37561450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193926675457353-0.193944912511778)×R²
    abs(-0.46230346--0.46239933)×1.82370544250521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82370544250521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82370544250521e-05×40589641000000     		ar = 14029.2773121214m²