Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27944 / 7752
↖ ↑ ↗
← N 79.616138°
W 26.499024°		 ← 110.10 m → N 79.616138°
W 26.493530°		 →
↑
110.09 m
↓
↑
110.09 m
↓
N 79.615148°
W 26.499024°		 ← 110.11 m →
12 122 m²		 N 79.615148°
W 26.493530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426399230957031 y=0.118293762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426399230957031 × 216)
    floor (0.426399230957031 × 65536)
    floor (27944.5)     		tx = 27944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118293762207031 × 216)
    floor (0.118293762207031 × 65536)
    floor (7752.5)     		ty = 7752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27944 / 7752 ti = "16/27944/7752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27944/7752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27944 ÷ 216
    27944 ÷ 65536     		x = 0.4263916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7752 ÷ 216
    7752 ÷ 65536     		y = 0.1182861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46249521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1182861328125 × 2 - 1) × π
    0.763427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39837896179065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46249521} λ = -0.46249521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39837896179065))-π/2
    2×atan(11.0053218658753)-π/2
    2×1.48018004052407-π/2
    2.96036008104815-1.57079632675     		φ = 1.38956375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46249521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.499024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38956375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.616138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27944 KachelY 7752 -0.46249521 1.38956375 -26.499024 79.616138
    Oben rechts KachelX + 1 27945 KachelY 7752 -0.46239933 1.38956375 -26.493530 79.616138
    Unten links KachelX 27944 KachelY + 1 7753 -0.46249521 1.38954647 -26.499024 79.615148
    Unten rechts KachelX + 1 27945 KachelY + 1 7753 -0.46239933 1.38954647 -26.493530 79.615148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38956375-1.38954647) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dl = 110.090880000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38956375-1.38954647) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dr = 110.090880000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46249521--0.46239933) × cos(1.38956375) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.18024210002938 × 6371000     		do = 110.101153561246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46249521--0.46239933) × cos(1.38954647) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.18025909699543 × 6371000     		du = 110.111536183113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38956375)-sin(1.38954647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18024210002938-0.18025909699543)×R²
    abs(-0.46239933--0.46249521)×1.69969660494818e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.69969660494818e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.69969660494818e-05×40589641000000     		ar = 12121.704400634m²