Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27943 / 6437
↖ ↑ ↗
← N 80.840530°
W 26.504517°		 ← 97.23 m → N 80.840530°
W 26.499024°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
N 80.839656°
W 26.504517°		 ← 97.24 m →
9 453 m²		 N 80.839656°
W 26.499024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426383972167969 y=0.0982284545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426383972167969 × 216)
    floor (0.426383972167969 × 65536)
    floor (27943.5)     		tx = 27943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0982284545898438 × 216)
    floor (0.0982284545898438 × 65536)
    floor (6437.5)     		ty = 6437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27943 / 6437 ti = "16/27943/6437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27943/6437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27943 ÷ 216
    27943 ÷ 65536     		x = 0.426376342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6437 ÷ 216
    6437 ÷ 65536     		y = 0.0982208251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426376342773438 × 2 - 1) × π
    -0.147247314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46259108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0982208251953125 × 2 - 1) × π
    0.803558349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5244530077914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46259108} λ = -0.46259108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5244530077914))-π/2
    2×atan(12.4840647095194)-π/2
    2×1.49086487525424-π/2
    2.98172975050848-1.57079632675     		φ = 1.41093342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46259108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.504517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41093342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.840530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27943 KachelY 6437 -0.46259108 1.41093342 -26.504517 80.840530
    Oben rechts KachelX + 1 27944 KachelY 6437 -0.46249521 1.41093342 -26.499024 80.840530
    Unten links KachelX 27943 KachelY + 1 6438 -0.46259108 1.41091816 -26.504517 80.839656
    Unten rechts KachelX + 1 27944 KachelY + 1 6438 -0.46249521 1.41091816 -26.499024 80.839656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41093342-1.41091816) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dl = 97.2214600004615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41093342-1.41091816) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dr = 97.2214600004615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46259108--0.46249521) × cos(1.41093342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15918286296507 × 6371000     		do = 97.2269458926483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46259108--0.46249521) × cos(1.41091816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159197928368038 × 6371000     		du = 97.2361476565315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41093342)-sin(1.41091816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15918286296507-0.159197928368038)×R²
    abs(-0.46249521--0.46259108)×1.50654029683894e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50654029683894e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50654029683894e-05×40589641000000     		ar = 9452.99293566532m²