Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27941 / 21863
↖ ↑ ↗
← N 51.265352°
W 26.515503°		 ← 382.18 m → N 51.265352°
W 26.510010°		 →
↑
382.20 m
↓
↑
382.20 m
↓
N 51.261915°
W 26.515503°		 ← 382.21 m →
146 073 m²		 N 51.261915°
W 26.510010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426353454589844 y=0.333610534667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426353454589844 × 216)
    floor (0.426353454589844 × 65536)
    floor (27941.5)     		tx = 27941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333610534667969 × 216)
    floor (0.333610534667969 × 65536)
    floor (21863.5)     		ty = 21863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27941 / 21863 ti = "16/27941/21863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27941/21863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27941 ÷ 216
    27941 ÷ 65536     		x = 0.426345825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21863 ÷ 216
    21863 ÷ 65536     		y = 0.333602905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426345825195312 × 2 - 1) × π
    -0.147308349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46278283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333602905273438 × 2 - 1) × π
    0.332794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04550378071342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46278283} λ = -0.46278283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04550378071342))-π/2
    2×atan(2.84483133386934)-π/2
    2×1.23277275685375-π/2
    2.4655455137075-1.57079632675     		φ = 0.89474919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46278283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.515503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89474919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.265352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27941 KachelY 21863 -0.46278283 0.89474919 -26.515503 51.265352
    Oben rechts KachelX + 1 27942 KachelY 21863 -0.46268696 0.89474919 -26.510010 51.265352
    Unten links KachelX 27941 KachelY + 1 21864 -0.46278283 0.89468920 -26.515503 51.261915
    Unten rechts KachelX + 1 27942 KachelY + 1 21864 -0.46268696 0.89468920 -26.510010 51.261915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89474919-0.89468920) × R
    5.99900000000098e-05 × 6371000     		dl = 382.196290000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89474919-0.89468920) × R
    5.99900000000098e-05 × 6371000     		dr = 382.196290000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46278283--0.46268696) × cos(0.89474919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625714480954357 × 6371000     		do = 382.178752478811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46278283--0.46268696) × cos(0.89468920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625761275158112 × 6371000     		du = 382.207333806171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89474919)-sin(0.89468920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625714480954357-0.625761275158112)×R²
    abs(-0.46268696--0.46278283)×4.6794203754974e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6794203754974e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6794203754974e-05×40589641000000     		ar = 146072.763196941m²