Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27940 / 8533
↖ ↑ ↗
← N 78.813709°
W 26.520996°		 ← 118.49 m → N 78.813709°
W 26.515503°		 →
↑
118.50 m
↓
↑
118.50 m
↓
N 78.812643°
W 26.520996°		 ← 118.50 m →
14 042 m²		 N 78.812643°
W 26.515503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426338195800781 y=0.130210876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426338195800781 × 216)
    floor (0.426338195800781 × 65536)
    floor (27940.5)     		tx = 27940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130210876464844 × 216)
    floor (0.130210876464844 × 65536)
    floor (8533.5)     		ty = 8533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27940 / 8533 ti = "16/27940/8533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27940/8533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27940 ÷ 216
    27940 ÷ 65536     		x = 0.42633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8533 ÷ 216
    8533 ÷ 65536     		y = 0.130203247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1473388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46287870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130203247070312 × 2 - 1) × π
    0.739593505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32350152458412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46287870} λ = -0.46287870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32350152458412))-π/2
    2×atan(10.2113671330034)-π/2
    2×1.47317751729965-π/2
    2.94635503459929-1.57079632675     		φ = 1.37555871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46287870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.520996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37555871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.813709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27940 KachelY 8533 -0.46287870 1.37555871 -26.520996 78.813709
    Oben rechts KachelX + 1 27941 KachelY 8533 -0.46278283 1.37555871 -26.515503 78.813709
    Unten links KachelX 27940 KachelY + 1 8534 -0.46287870 1.37554011 -26.520996 78.812643
    Unten rechts KachelX + 1 27941 KachelY + 1 8534 -0.46278283 1.37554011 -26.515503 78.812643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37555871-1.37554011) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dl = 118.500599999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37555871-1.37554011) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dr = 118.500599999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46287870--0.46278283) × cos(1.37555871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19399964289291 × 6371000     		do = 118.492609263354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46287870--0.46278283) × cos(1.37554011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194017889489104 × 6371000     		du = 118.503754061154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37555871)-sin(1.37554011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19399964289291-0.194017889489104)×R²
    abs(-0.46278283--0.46287870)×1.82465961947598e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82465961947598e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82465961947598e-05×40589641000000     		ar = 14042.1056263057m²