Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27938 / 6486
↖ ↑ ↗
← N 80.797585°
W 26.531982°		 ← 97.68 m → N 80.797585°
W 26.526489°		 →
↑
97.73 m
↓
↑
97.73 m
↓
N 80.796706°
W 26.531982°		 ← 97.69 m →
9 547 m²		 N 80.796706°
W 26.526489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426307678222656 y=0.0989761352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426307678222656 × 216)
    floor (0.426307678222656 × 65536)
    floor (27938.5)     		tx = 27938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0989761352539062 × 216)
    floor (0.0989761352539062 × 65536)
    floor (6486.5)     		ty = 6486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27938 / 6486 ti = "16/27938/6486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27938/6486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27938 ÷ 216
    27938 ÷ 65536     		x = 0.426300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6486 ÷ 216
    6486 ÷ 65536     		y = 0.098968505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426300048828125 × 2 - 1) × π
    -0.14739990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46307045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098968505859375 × 2 - 1) × π
    0.80206298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51975519162863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46307045} λ = -0.46307045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51975519162863))-π/2
    2×atan(12.4255544114695)-π/2
    2×1.49049010097077-π/2
    2.98098020194154-1.57079632675     		φ = 1.41018388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46307045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.531982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41018388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.797585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27938 KachelY 6486 -0.46307045 1.41018388 -26.531982 80.797585
    Oben rechts KachelX + 1 27939 KachelY 6486 -0.46297458 1.41018388 -26.526489 80.797585
    Unten links KachelX 27938 KachelY + 1 6487 -0.46307045 1.41016854 -26.531982 80.796706
    Unten rechts KachelX + 1 27939 KachelY + 1 6487 -0.46297458 1.41016854 -26.526489 80.796706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41018388-1.41016854) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dl = 97.7311400001932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41018388-1.41016854) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dr = 97.7311400001932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46307045--0.46297458) × cos(1.41018388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159922800882568 × 6371000     		do = 97.6788909232155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46307045--0.46297458) × cos(1.41016854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159937943430654 × 6371000     		du = 97.6881398063932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41018388)-sin(1.41016854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159922800882568-0.159937943430654)×R²
    abs(-0.46297458--0.46307045)×1.51425480861278e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51425480861278e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51425480861278e-05×40589641000000     		ar = 9546.72131567248m²