Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27938 / 14499
↖ ↑ ↗
← N 70.313188°
W 26.531982°		 ← 205.76 m → N 70.313188°
W 26.526489°		 →
↑
205.78 m
↓
↑
205.78 m
↓
N 70.311337°
W 26.531982°		 ← 205.78 m →
42 344 m²		 N 70.311337°
W 26.526489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426307678222656 y=0.221244812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426307678222656 × 216)
    floor (0.426307678222656 × 65536)
    floor (27938.5)     		tx = 27938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221244812011719 × 216)
    floor (0.221244812011719 × 65536)
    floor (14499.5)     		ty = 14499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27938 / 14499 ti = "16/27938/14499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27938/14499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27938 ÷ 216
    27938 ÷ 65536     		x = 0.426300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14499 ÷ 216
    14499 ÷ 65536     		y = 0.221237182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426300048828125 × 2 - 1) × π
    -0.14739990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46307045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221237182617188 × 2 - 1) × π
    0.557525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.75151843831761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46307045} λ = -0.46307045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75151843831761))-π/2
    2×atan(5.76334732263469)-π/2
    2×1.39899647935783-π/2
    2.79799295871566-1.57079632675     		φ = 1.22719663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46307045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.531982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22719663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.313188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27938 KachelY 14499 -0.46307045 1.22719663 -26.531982 70.313188
    Oben rechts KachelX + 1 27939 KachelY 14499 -0.46297458 1.22719663 -26.526489 70.313188
    Unten links KachelX 27938 KachelY + 1 14500 -0.46307045 1.22716433 -26.531982 70.311337
    Unten rechts KachelX + 1 27939 KachelY + 1 14500 -0.46297458 1.22716433 -26.526489 70.311337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22719663-1.22716433) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dl = 205.783299999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22719663-1.22716433) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dr = 205.783299999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46307045--0.46297458) × cos(1.22719663) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336878555129662 × 6371000     		do = 205.761301448464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46307045--0.46297458) × cos(1.22716433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336908966957804 × 6371000     		du = 205.779876621156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22719663)-sin(1.22716433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336878555129662-0.336908966957804)×R²
    abs(-0.46297458--0.46307045)×3.04118281420629e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04118281420629e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04118281420629e-05×40589641000000     		ar = 42344.150858061m²