Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27937 / 14497
↖ ↑ ↗
← N 70.316888°
W 26.537475°		 ← 205.72 m → N 70.316888°
W 26.531982°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
N 70.315038°
W 26.537475°		 ← 205.74 m →
42 323 m²		 N 70.315038°
W 26.531982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426292419433594 y=0.221214294433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426292419433594 × 216)
    floor (0.426292419433594 × 65536)
    floor (27937.5)     		tx = 27937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221214294433594 × 216)
    floor (0.221214294433594 × 65536)
    floor (14497.5)     		ty = 14497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27937 / 14497 ti = "16/27937/14497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27937/14497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27937 ÷ 216
    27937 ÷ 65536     		x = 0.426284790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14497 ÷ 216
    14497 ÷ 65536     		y = 0.221206665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426284790039062 × 2 - 1) × π
    -0.147430419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46316632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221206665039062 × 2 - 1) × π
    0.557586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75171018591609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46316632} λ = -0.46316632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75171018591609))-π/2
    2×atan(5.76445253660069)-π/2
    2×1.39902877426926-π/2
    2.79805754853851-1.57079632675     		φ = 1.22726122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46316632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.537475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22726122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.316888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27937 KachelY 14497 -0.46316632 1.22726122 -26.537475 70.316888
    Oben rechts KachelX + 1 27938 KachelY 14497 -0.46307045 1.22726122 -26.531982 70.316888
    Unten links KachelX 27937 KachelY + 1 14498 -0.46316632 1.22722893 -26.537475 70.315038
    Unten rechts KachelX + 1 27938 KachelY + 1 14498 -0.46307045 1.22722893 -26.531982 70.315038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22726122-1.22722893) × R
    3.22899999998238e-05 × 6371000     		dl = 205.719589998878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22726122-1.22722893) × R
    3.22899999998238e-05 × 6371000     		dr = 205.719589998878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46316632--0.46307045) × cos(1.22726122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336817739834722 × 6371000     		do = 205.724156210086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46316632--0.46307045) × cos(1.22722893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336848142950058 × 6371000     		du = 205.742726061102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22726122)-sin(1.22722893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336817739834722-0.336848142950058)×R²
    abs(-0.46307045--0.46316632)×3.04031153355311e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04031153355311e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04031153355311e-05×40589641000000     		ar = 42323.3991634908m²