Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27936 / 22047
↖ ↑ ↗
← N 50.628558°
W 26.542969°		 ← 387.49 m → N 50.628558°
W 26.537475°		 →
↑
387.48 m
↓
↑
387.48 m
↓
N 50.625073°
W 26.542969°		 ← 387.52 m →
150 152 m²		 N 50.625073°
W 26.537475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426277160644531 y=0.336418151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426277160644531 × 216)
    floor (0.426277160644531 × 65536)
    floor (27936.5)     		tx = 27936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336418151855469 × 216)
    floor (0.336418151855469 × 65536)
    floor (22047.5)     		ty = 22047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27936 / 22047 ti = "16/27936/22047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27936/22047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27936 ÷ 216
    27936 ÷ 65536     		x = 0.42626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22047 ÷ 216
    22047 ÷ 65536     		y = 0.336410522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336410522460938 × 2 - 1) × π
    0.327178955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02786300165324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46326220} λ = -0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02786300165324))-π/2
    2×atan(2.79508635298801)-π/2
    2×1.22721567757081-π/2
    2.45443135514162-1.57079632675     		φ = 0.88363503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88363503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.628558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27936 KachelY 22047 -0.46326220 0.88363503 -26.542969 50.628558
    Oben rechts KachelX + 1 27937 KachelY 22047 -0.46316632 0.88363503 -26.537475 50.628558
    Unten links KachelX 27936 KachelY + 1 22048 -0.46326220 0.88357421 -26.542969 50.625073
    Unten rechts KachelX + 1 27937 KachelY + 1 22048 -0.46316632 0.88357421 -26.537475 50.625073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88363503-0.88357421) × R
    6.08199999999615e-05 × 6371000     		dl = 387.484219999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88363503-0.88357421) × R
    6.08199999999615e-05 × 6371000     		dr = 387.484219999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46326220--0.46316632) × cos(0.88363503) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.634345281945979 × 6371000     		do = 387.490754307689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46326220--0.46316632) × cos(0.88357421) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.634392297664295 × 6371000     		du = 387.519473928805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88363503)-sin(0.88357421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634345281945979-0.634392297664295)×R²
    abs(-0.46316632--0.46326220)×4.70157183157793e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70157183157793e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70157183157793e-05×40589641000000     		ar = 150152.116936242m²