Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27935 / 14495
↖ ↑ ↗
← N 70.320588°
W 26.548462°		 ← 205.69 m → N 70.320588°
W 26.542969°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
N 70.318738°
W 26.548462°		 ← 205.71 m →
42 316 m²		 N 70.318738°
W 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426261901855469 y=0.221183776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426261901855469 × 216)
    floor (0.426261901855469 × 65536)
    floor (27935.5)     		tx = 27935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221183776855469 × 216)
    floor (0.221183776855469 × 65536)
    floor (14495.5)     		ty = 14495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27935 / 14495 ti = "16/27935/14495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27935/14495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27935 ÷ 216
    27935 ÷ 65536     		x = 0.426254272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14495 ÷ 216
    14495 ÷ 65536     		y = 0.221176147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426254272460938 × 2 - 1) × π
    -0.147491455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46335807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221176147460938 × 2 - 1) × π
    0.557647705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.75190193351457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46335807} λ = -0.46335807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75190193351457))-π/2
    2×atan(5.76555796250913)-π/2
    2×1.39906106335056-π/2
    2.79812212670112-1.57079632675     		φ = 1.22732580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46335807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.548462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22732580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.320588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27935 KachelY 14495 -0.46335807 1.22732580 -26.548462 70.320588
    Oben rechts KachelX + 1 27936 KachelY 14495 -0.46326220 1.22732580 -26.542969 70.320588
    Unten links KachelX 27935 KachelY + 1 14496 -0.46335807 1.22729351 -26.548462 70.318738
    Unten rechts KachelX + 1 27936 KachelY + 1 14496 -0.46326220 1.22729351 -26.542969 70.318738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22732580-1.22729351) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dl = 205.719590000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22732580-1.22729351) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dr = 205.719590000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46335807--0.46326220) × cos(1.22732580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336756932550539 × 6371000     		do = 205.68701586458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46335807--0.46326220) × cos(1.22729351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336787336368205 × 6371000     		du = 205.705586144571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22732580)-sin(1.22729351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336756932550539-0.336787336368205)×R²
    abs(-0.46326220--0.46335807)×3.04038176661137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04038176661137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04038176661137e-05×40589641000000     		ar = 42315.7587106295m²