Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27933 / 7836
↖ ↑ ↗
← N 79.532640°
W 26.559448°		 ← 110.97 m → N 79.532640°
W 26.553955°		 →
↑
110.98 m
↓
↑
110.98 m
↓
N 79.531642°
W 26.559448°		 ← 110.98 m →
12 316 m²		 N 79.531642°
W 26.553955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426231384277344 y=0.119575500488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426231384277344 × 216)
    floor (0.426231384277344 × 65536)
    floor (27933.5)     		tx = 27933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119575500488281 × 216)
    floor (0.119575500488281 × 65536)
    floor (7836.5)     		ty = 7836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27933 / 7836 ti = "16/27933/7836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27933/7836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27933 ÷ 216
    27933 ÷ 65536     		x = 0.426223754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7836 ÷ 216
    7836 ÷ 65536     		y = 0.11956787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426223754882812 × 2 - 1) × π
    -0.147552490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46354982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11956787109375 × 2 - 1) × π
    0.7608642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39032556265448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46354982} λ = -0.46354982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39032556265448))-π/2
    2×atan(10.9170475475288)-π/2
    2×1.47945137776925-π/2
    2.95890275553851-1.57079632675     		φ = 1.38810643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46354982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.559448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38810643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.532640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27933 KachelY 7836 -0.46354982 1.38810643 -26.559448 79.532640
    Oben rechts KachelX + 1 27934 KachelY 7836 -0.46345395 1.38810643 -26.553955 79.532640
    Unten links KachelX 27933 KachelY + 1 7837 -0.46354982 1.38808901 -26.559448 79.531642
    Unten rechts KachelX + 1 27934 KachelY + 1 7837 -0.46345395 1.38808901 -26.553955 79.531642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38810643-1.38808901) × R
    1.74199999998237e-05 × 6371000     		dl = 110.982819998877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38810643-1.38808901) × R
    1.74199999998237e-05 × 6371000     		dr = 110.982819998877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46354982--0.46345395) × cos(1.38810643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181675360542476 × 6371000     		do = 110.965088329682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46354982--0.46345395) × cos(1.38808901) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181692490621077 × 6371000     		du = 110.975551172191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38810643)-sin(1.38808901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181675360542476-0.181692490621077)×R²
    abs(-0.46345395--0.46354982)×1.71300786006856e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71300786006856e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71300786006856e-05×40589641000000     		ar = 12315.7990223913m²