Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27933 / 6497
↖ ↑ ↗
← N 80.787916°
W 26.559448°		 ← 97.78 m → N 80.787916°
W 26.553955°		 →
↑
97.79 m
↓
↑
97.79 m
↓
N 80.787037°
W 26.559448°		 ← 97.79 m →
9 563 m²		 N 80.787037°
W 26.553955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426231384277344 y=0.0991439819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426231384277344 × 216)
    floor (0.426231384277344 × 65536)
    floor (27933.5)     		tx = 27933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0991439819335938 × 216)
    floor (0.0991439819335938 × 65536)
    floor (6497.5)     		ty = 6497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27933 / 6497 ti = "16/27933/6497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27933/6497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27933 ÷ 216
    27933 ÷ 65536     		x = 0.426223754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6497 ÷ 216
    6497 ÷ 65536     		y = 0.0991363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426223754882812 × 2 - 1) × π
    -0.147552490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46354982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0991363525390625 × 2 - 1) × π
    0.801727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51870057983699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46354982} λ = -0.46354982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51870057983699))-π/2
    2×atan(12.4124571827293)-π/2
    2×1.49040572882316-π/2
    2.98081145764631-1.57079632675     		φ = 1.41001513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46354982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.559448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41001513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.787916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27933 KachelY 6497 -0.46354982 1.41001513 -26.559448 80.787916
    Oben rechts KachelX + 1 27934 KachelY 6497 -0.46345395 1.41001513 -26.553955 80.787916
    Unten links KachelX 27933 KachelY + 1 6498 -0.46354982 1.40999978 -26.559448 80.787037
    Unten rechts KachelX + 1 27934 KachelY + 1 6498 -0.46345395 1.40999978 -26.553955 80.787037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41001513-1.40999978) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dl = 97.794849999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41001513-1.40999978) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dr = 97.794849999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46354982--0.46345395) × cos(1.41001513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160089376711978 × 6371000     		do = 97.780633402597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46354982--0.46345395) × cos(1.40999978) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16010452871685 × 6371000     		du = 97.7898880618634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41001513)-sin(1.40999978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160089376711978-0.16010452871685)×R²
    abs(-0.46345395--0.46354982)×1.51520048713716e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51520048713716e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51520048713716e-05×40589641000000     		ar = 9562.89490541348m²