Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27931 / 21801
↖ ↑ ↗
← N 51.477962°
W 26.570435°		 ← 380.45 m → N 51.477962°
W 26.564941°		 →
↑
380.48 m
↓
↑
380.48 m
↓
N 51.474540°
W 26.570435°		 ← 380.48 m →
144 757 m²		 N 51.474540°
W 26.564941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426200866699219 y=0.332664489746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426200866699219 × 216)
    floor (0.426200866699219 × 65536)
    floor (27931.5)     		tx = 27931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332664489746094 × 216)
    floor (0.332664489746094 × 65536)
    floor (21801.5)     		ty = 21801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27931 / 21801 ti = "16/27931/21801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27931/21801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27931 ÷ 216
    27931 ÷ 65536     		x = 0.426193237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21801 ÷ 216
    21801 ÷ 65536     		y = 0.332656860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426193237304688 × 2 - 1) × π
    -0.147613525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46374157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332656860351562 × 2 - 1) × π
    0.334686279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05144795626631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46374157} λ = -0.46374157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05144795626631))-π/2
    2×atan(2.86179186899618)-π/2
    2×1.23462812616674-π/2
    2.46925625233348-1.57079632675     		φ = 0.89845993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46374157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.570435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89845993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.477962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27931 KachelY 21801 -0.46374157 0.89845993 -26.570435 51.477962
    Oben rechts KachelX + 1 27932 KachelY 21801 -0.46364569 0.89845993 -26.564941 51.477962
    Unten links KachelX 27931 KachelY + 1 21802 -0.46374157 0.89840021 -26.570435 51.474540
    Unten rechts KachelX + 1 27932 KachelY + 1 21802 -0.46364569 0.89840021 -26.564941 51.474540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89845993-0.89840021) × R
    5.97199999999853e-05 × 6371000     		dl = 380.476119999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89845993-0.89840021) × R
    5.97199999999853e-05 × 6371000     		dr = 380.476119999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46374157--0.46364569) × cos(0.89845993) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.622815608895524 × 6371000     		do = 380.447836460903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46374157--0.46364569) × cos(0.89840021) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.622862330841134 × 6371000     		du = 380.476376630527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89845993)-sin(0.89840021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622815608895524-0.622862330841134)×R²
    abs(-0.46364569--0.46374157)×4.6721945610062e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6721945610062e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6721945610062e-05×40589641000000     		ar = 144756.746148385m²