Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27928 / 20280
↖ ↑ ↗
← N 76.965290°
W103.293457°		 ← 68.89 m → N 76.965290°
W103.290710°		 →
↑
68.87 m
↓
↑
68.87 m
↓
N 76.964671°
W103.293457°		 ← 68.89 m →
4 744 m²		 N 76.964671°
W103.290710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213077545166016 y=0.154727935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213077545166016 × 217)
    floor (0.213077545166016 × 131072)
    floor (27928.5)     		tx = 27928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154727935791016 × 217)
    floor (0.154727935791016 × 131072)
    floor (20280.5)     		ty = 20280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27928 / 20280 ti = "17/27928/20280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27928/20280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27928 ÷ 217
    27928 ÷ 131072     		x = 0.21307373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20280 ÷ 217
    20280 ÷ 131072     		y = 0.15472412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.5738525390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.80281092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15472412109375 × 2 - 1) × π
    0.6905517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16943232920526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80281092} λ = -1.80281092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16943232920526))-π/2
    2×atan(8.75331362959098)-π/2
    2×1.45704702574444-π/2
    2.91409405148887-1.57079632675     		φ = 1.34329772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80281092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.293457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34329772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.965290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27928 KachelY 20280 -1.80281092 1.34329772 -103.293457 76.965290
    Oben rechts KachelX + 1 27929 KachelY 20280 -1.80276298 1.34329772 -103.290710 76.965290
    Unten links KachelX 27928 KachelY + 1 20281 -1.80281092 1.34328691 -103.293457 76.964671
    Unten rechts KachelX + 1 27929 KachelY + 1 20281 -1.80276298 1.34328691 -103.290710 76.964671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34329772-1.34328691) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dl = 68.8705100001768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34329772-1.34328691) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dr = 68.8705100001768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80281092--1.80276298) × cos(1.34329772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225541290346856 × 6371000     		do = 68.8861155046981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80281092--1.80276298) × cos(1.34328691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225551821798999 × 6371000     		du = 68.8893320812622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34329772)-sin(1.34328691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225541290346856-0.225551821798999)×R²
    abs(-1.80276298--1.80281092)×1.05314521431921e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05314521431921e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05314521431921e-05×40589641000000     		ar = 4744.33267039885m²