Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27925 / 6491
↖ ↑ ↗
← N 80.793191°
W 26.603394°		 ← 97.73 m → N 80.793191°
W 26.597901°		 →
↑
97.79 m
↓
↑
97.79 m
↓
N 80.792312°
W 26.603394°		 ← 97.73 m →
9 557 m²		 N 80.792312°
W 26.597901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426109313964844 y=0.0990524291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426109313964844 × 216)
    floor (0.426109313964844 × 65536)
    floor (27925.5)     		tx = 27925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990524291992188 × 216)
    floor (0.0990524291992188 × 65536)
    floor (6491.5)     		ty = 6491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27925 / 6491 ti = "16/27925/6491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27925/6491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27925 ÷ 216
    27925 ÷ 65536     		x = 0.426101684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6491 ÷ 216
    6491 ÷ 65536     		y = 0.0990447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426101684570312 × 2 - 1) × π
    -0.147796630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46431681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0990447998046875 × 2 - 1) × π
    0.801910400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51927582263243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46431681} λ = -0.46431681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51927582263243))-π/2
    2×atan(12.4195994133588)-π/2
    2×1.49045176088286-π/2
    2.98090352176571-1.57079632675     		φ = 1.41010720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46431681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.603394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41010720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.793191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27925 KachelY 6491 -0.46431681 1.41010720 -26.603394 80.793191
    Oben rechts KachelX + 1 27926 KachelY 6491 -0.46422094 1.41010720 -26.597901 80.793191
    Unten links KachelX 27925 KachelY + 1 6492 -0.46431681 1.41009185 -26.603394 80.792312
    Unten rechts KachelX + 1 27926 KachelY + 1 6492 -0.46422094 1.41009185 -26.597901 80.792312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41010720-1.41009185) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dl = 97.794849999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41010720-1.41009185) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dr = 97.794849999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46431681--0.46422094) × cos(1.41010720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159998493504259 × 6371000     		do = 97.7251230508235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46431681--0.46422094) × cos(1.41009185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160013645735327 × 6371000     		du = 97.7343778482481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41010720)-sin(1.41009185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159998493504259-0.160013645735327)×R²
    abs(-0.46422094--0.46431681)×1.51522310680996e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51522310680996e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51522310680996e-05×40589641000000     		ar = 9557.46628602491m²