Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27924 / 14501
↖ ↑ ↗
← N 70.309486°
W 26.608887°		 ← 205.80 m → N 70.309486°
W 26.603394°		 →
↑
205.78 m
↓
↑
205.78 m
↓
N 70.307636°
W 26.608887°		 ← 205.82 m →
42 352 m²		 N 70.307636°
W 26.603394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426094055175781 y=0.221275329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426094055175781 × 216)
    floor (0.426094055175781 × 65536)
    floor (27924.5)     		tx = 27924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221275329589844 × 216)
    floor (0.221275329589844 × 65536)
    floor (14501.5)     		ty = 14501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27924 / 14501 ti = "16/27924/14501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27924/14501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27924 ÷ 216
    27924 ÷ 65536     		x = 0.42608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14501 ÷ 216
    14501 ÷ 65536     		y = 0.221267700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.1478271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46441268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221267700195312 × 2 - 1) × π
    0.557464599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75132669071913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46441268} λ = -0.46441268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75132669071913))-π/2
    2×atan(5.7622423205705)-π/2
    2×1.39896417861537-π/2
    2.79792835723074-1.57079632675     		φ = 1.22713203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46441268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.608887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22713203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.309486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27924 KachelY 14501 -0.46441268 1.22713203 -26.608887 70.309486
    Oben rechts KachelX + 1 27925 KachelY 14501 -0.46431681 1.22713203 -26.603394 70.309486
    Unten links KachelX 27924 KachelY + 1 14502 -0.46441268 1.22709973 -26.608887 70.307636
    Unten rechts KachelX + 1 27925 KachelY + 1 14502 -0.46431681 1.22709973 -26.603394 70.307636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22713203-1.22709973) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dl = 205.783299999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22713203-1.22709973) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dr = 205.783299999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46441268--0.46431681) × cos(1.22713203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336939378434452 × 6371000     		do = 205.798451579161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46441268--0.46431681) × cos(1.22709973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336969789559575 × 6371000     		du = 205.817026322458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22713203)-sin(1.22709973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336939378434452-0.336969789559575)×R²
    abs(-0.46431681--0.46441268)×3.0411125122809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0411125122809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0411125122809e-05×40589641000000     		ar = 42351.7956903524m²