Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27923 / 21847
↖ ↑ ↗
← N 51.320314°
W 26.614380°		 ← 381.76 m → N 51.320314°
W 26.608887°		 →
↑
381.75 m
↓
↑
381.75 m
↓
N 51.316881°
W 26.614380°		 ← 381.79 m →
145 743 m²		 N 51.316881°
W 26.608887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426078796386719 y=0.333366394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426078796386719 × 216)
    floor (0.426078796386719 × 65536)
    floor (27923.5)     		tx = 27923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333366394042969 × 216)
    floor (0.333366394042969 × 65536)
    floor (21847.5)     		ty = 21847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27923 / 21847 ti = "16/27923/21847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27923/21847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27923 ÷ 216
    27923 ÷ 65536     		x = 0.426071166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21847 ÷ 216
    21847 ÷ 65536     		y = 0.333358764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426071166992188 × 2 - 1) × π
    -0.147857666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46450856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333358764648438 × 2 - 1) × π
    0.333282470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04703776150127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46450856} λ = -0.46450856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04703776150127))-π/2
    2×atan(2.84919859927437)-π/2
    2×1.23325238676199-π/2
    2.46650477352397-1.57079632675     		φ = 0.89570845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46450856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.614380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89570845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.320314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27923 KachelY 21847 -0.46450856 0.89570845 -26.614380 51.320314
    Oben rechts KachelX + 1 27924 KachelY 21847 -0.46441268 0.89570845 -26.608887 51.320314
    Unten links KachelX 27923 KachelY + 1 21848 -0.46450856 0.89564853 -26.614380 51.316881
    Unten rechts KachelX + 1 27924 KachelY + 1 21848 -0.46441268 0.89564853 -26.608887 51.316881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89570845-0.89564853) × R
    5.99199999999911e-05 × 6371000     		dl = 381.750319999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89570845-0.89564853) × R
    5.99199999999911e-05 × 6371000     		dr = 381.750319999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46450856--0.46441268) × cos(0.89570845) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624965920339399 × 6371000     		do = 381.761357388854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46450856--0.46441268) × cos(0.89564853) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.625012695887316 × 6371000     		du = 381.789930301527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89570845)-sin(0.89564853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624965920339399-0.625012695887316)×R²
    abs(-0.46441268--0.46450856)×4.67755479172105e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67755479172105e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67755479172105e-05×40589641000000     		ar = 145742.974249677m²