Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27922 / 7828
↖ ↑ ↗
← N 79.540621°
W 26.619873°		 ← 110.88 m → N 79.540621°
W 26.614380°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
N 79.539623°
W 26.619873°		 ← 110.89 m →
12 299 m²		 N 79.539623°
W 26.614380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426063537597656 y=0.119453430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426063537597656 × 216)
    floor (0.426063537597656 × 65536)
    floor (27922.5)     		tx = 27922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119453430175781 × 216)
    floor (0.119453430175781 × 65536)
    floor (7828.5)     		ty = 7828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27922 / 7828 ti = "16/27922/7828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27922/7828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27922 ÷ 216
    27922 ÷ 65536     		x = 0.426055908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7828 ÷ 216
    7828 ÷ 65536     		y = 0.11944580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426055908203125 × 2 - 1) × π
    -0.14788818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46460443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11944580078125 × 2 - 1) × π
    0.7611083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3910925530484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46460443} λ = -0.46460443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3910925530484))-π/2
    2×atan(10.9254240300579)-π/2
    2×1.47952102313018-π/2
    2.95904204626037-1.57079632675     		φ = 1.38824572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46460443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.619873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38824572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.540621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27922 KachelY 7828 -0.46460443 1.38824572 -26.619873 79.540621
    Oben rechts KachelX + 1 27923 KachelY 7828 -0.46450856 1.38824572 -26.614380 79.540621
    Unten links KachelX 27922 KachelY + 1 7829 -0.46460443 1.38822831 -26.619873 79.539623
    Unten rechts KachelX + 1 27923 KachelY + 1 7829 -0.46450856 1.38822831 -26.614380 79.539623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38824572-1.38822831) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38824572-1.38822831) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46460443--0.46450856) × cos(1.38824572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181538386766277 × 6371000     		do = 110.881426422369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46460443--0.46450856) × cos(1.38822831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181555507451748 × 6371000     		du = 110.891883527669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38824572)-sin(1.38822831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181538386766277-0.181555507451748)×R²
    abs(-0.46450856--0.46460443)×1.7120685471439e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7120685471439e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7120685471439e-05×40589641000000     		ar = 12299.4490811983m²