Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27922 / 7151
↖ ↑ ↗
← N 80.194630°
W 26.619873°		 ← 104.02 m → N 80.194630°
W 26.614380°		 →
↑
104.04 m
↓
↑
104.04 m
↓
N 80.193694°
W 26.619873°		 ← 104.03 m →
10 822 m²		 N 80.193694°
W 26.614380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426063537597656 y=0.109123229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426063537597656 × 216)
    floor (0.426063537597656 × 65536)
    floor (27922.5)     		tx = 27922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109123229980469 × 216)
    floor (0.109123229980469 × 65536)
    floor (7151.5)     		ty = 7151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27922 / 7151 ti = "16/27922/7151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27922/7151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27922 ÷ 216
    27922 ÷ 65536     		x = 0.426055908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7151 ÷ 216
    7151 ÷ 65536     		y = 0.109115600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426055908203125 × 2 - 1) × π
    -0.14788818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46460443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109115600585938 × 2 - 1) × π
    0.781768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45599911513396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46460443} λ = -0.46460443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45599911513396))-π/2
    2×atan(11.658075491747)-π/2
    2×1.48522832879086-π/2
    2.97045665758172-1.57079632675     		φ = 1.39966033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46460443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.619873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39966033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.194630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27922 KachelY 7151 -0.46460443 1.39966033 -26.619873 80.194630
    Oben rechts KachelX + 1 27923 KachelY 7151 -0.46450856 1.39966033 -26.614380 80.194630
    Unten links KachelX 27922 KachelY + 1 7152 -0.46460443 1.39964400 -26.619873 80.193694
    Unten rechts KachelX + 1 27923 KachelY + 1 7152 -0.46450856 1.39964400 -26.614380 80.193694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39966033-1.39964400) × R
    1.63299999997868e-05 × 6371000     		dl = 104.038429998642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39966033-1.39964400) × R
    1.63299999997868e-05 × 6371000     		dr = 104.038429998642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46460443--0.46450856) × cos(1.39966033) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17030186079855 × 6371000     		do = 104.018293783994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46460443--0.46450856) × cos(1.39964400) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170317952226229 × 6371000     		du = 104.028122231222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39966033)-sin(1.39964400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17030186079855-0.170317952226229)×R²
    abs(-0.46450856--0.46460443)×1.60914276787216e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.60914276787216e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.60914276787216e-05×40589641000000     		ar = 10822.4112446712m²