Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27919 / 14516
↖ ↑ ↗
← N 70.281705°
W 26.636352°		 ← 206.08 m → N 70.281705°
W 26.630859°		 →
↑
206.10 m
↓
↑
206.10 m
↓
N 70.279851°
W 26.636352°		 ← 206.10 m →
42 475 m²		 N 70.279851°
W 26.630859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426017761230469 y=0.221504211425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426017761230469 × 216)
    floor (0.426017761230469 × 65536)
    floor (27919.5)     		tx = 27919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221504211425781 × 216)
    floor (0.221504211425781 × 65536)
    floor (14516.5)     		ty = 14516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27919 / 14516 ti = "16/27919/14516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27919/14516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27919 ÷ 216
    27919 ÷ 65536     		x = 0.426010131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14516 ÷ 216
    14516 ÷ 65536     		y = 0.22149658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426010131835938 × 2 - 1) × π
    -0.147979736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46489205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22149658203125 × 2 - 1) × π
    0.5570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74988858373053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46489205} λ = -0.46489205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74988858373053))-π/2
    2×atan(5.75396155535959)-π/2
    2×1.39872173708996-π/2
    2.79744347417992-1.57079632675     		φ = 1.22664715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46489205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.636352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22664715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.281705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27919 KachelY 14516 -0.46489205 1.22664715 -26.636352 70.281705
    Oben rechts KachelX + 1 27920 KachelY 14516 -0.46479618 1.22664715 -26.630859 70.281705
    Unten links KachelX 27919 KachelY + 1 14517 -0.46489205 1.22661480 -26.636352 70.279851
    Unten rechts KachelX + 1 27920 KachelY + 1 14517 -0.46479618 1.22661480 -26.630859 70.279851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22664715-1.22661480) × R
    3.23500000001253e-05 × 6371000     		dl = 206.101850000798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22664715-1.22661480) × R
    3.23500000001253e-05 × 6371000     		dr = 206.101850000798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46489205--0.46479618) × cos(1.22664715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337395866101262 × 6371000     		do = 206.077268663204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46489205--0.46479618) × cos(1.22661480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337426319013152 × 6371000     		du = 206.095868929347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22664715)-sin(1.22661480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337395866101262-0.337426319013152)×R²
    abs(-0.46479618--0.46489205)×3.04529118897445e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04529118897445e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04529118897445e-05×40589641000000     		ar = 42474.8230929435m²