Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27918 / 7791
↖ ↑ ↗
← N 79.577453°
W 26.641846°		 ← 110.51 m → N 79.577453°
W 26.636352°		 →
↑
110.47 m
↓
↑
110.47 m
↓
N 79.576460°
W 26.641846°		 ← 110.52 m →
12 209 m²		 N 79.576460°
W 26.636352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426002502441406 y=0.118888854980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426002502441406 × 216)
    floor (0.426002502441406 × 65536)
    floor (27918.5)     		tx = 27918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118888854980469 × 216)
    floor (0.118888854980469 × 65536)
    floor (7791.5)     		ty = 7791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27918 / 7791 ti = "16/27918/7791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27918/7791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27918 ÷ 216
    27918 ÷ 65536     		x = 0.425994873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7791 ÷ 216
    7791 ÷ 65536     		y = 0.118881225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425994873046875 × 2 - 1) × π
    -0.14801025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46498793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118881225585938 × 2 - 1) × π
    0.762237548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39463988362029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46498793} λ = -0.46498793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39463988362029))-π/2
    2×atan(10.9642489424169)-π/2
    2×1.47984245048604-π/2
    2.95968490097207-1.57079632675     		φ = 1.38888857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46498793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.641846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38888857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.577453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27918 KachelY 7791 -0.46498793 1.38888857 -26.641846 79.577453
    Oben rechts KachelX + 1 27919 KachelY 7791 -0.46489205 1.38888857 -26.636352 79.577453
    Unten links KachelX 27918 KachelY + 1 7792 -0.46498793 1.38887123 -26.641846 79.576460
    Unten rechts KachelX + 1 27919 KachelY + 1 7792 -0.46489205 1.38887123 -26.636352 79.576460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38888857-1.38887123) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dl = 110.47314000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38888857-1.38887123) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dr = 110.47314000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46498793--0.46489205) × cos(1.38888857) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.18090618098514 × 6371000     		do = 110.506808395912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46498793--0.46489205) × cos(1.38887123) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.180923234854145 × 6371000     		du = 110.517225777034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38888857)-sin(1.38887123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18090618098514-0.180923234854145)×R²
    abs(-0.46489205--0.46498793)×1.70538690054678e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.70538690054678e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.70538690054678e-05×40589641000000     		ar = 12208.609535505m²