Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27917 / 14517
↖ ↑ ↗
← N 70.279851°
W 26.647339°		 ← 206.10 m → N 70.279851°
W 26.641846°		 →
↑
206.10 m
↓
↑
206.10 m
↓
N 70.277998°
W 26.647339°		 ← 206.11 m →
42 479 m²		 N 70.277998°
W 26.641846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425987243652344 y=0.221519470214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425987243652344 × 216)
    floor (0.425987243652344 × 65536)
    floor (27917.5)     		tx = 27917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221519470214844 × 216)
    floor (0.221519470214844 × 65536)
    floor (14517.5)     		ty = 14517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27917 / 14517 ti = "16/27917/14517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27917/14517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27917 ÷ 216
    27917 ÷ 65536     		x = 0.425979614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14517 ÷ 216
    14517 ÷ 65536     		y = 0.221511840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425979614257812 × 2 - 1) × π
    -0.148040771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46508380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221511840820312 × 2 - 1) × π
    0.556976318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74979270993129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46508380} λ = -0.46508380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74979270993129))-π/2
    2×atan(5.75340992764834)-π/2
    2×1.3987055626482-π/2
    2.7974111252964-1.57079632675     		φ = 1.22661480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46508380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.647339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22661480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.279851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27917 KachelY 14517 -0.46508380 1.22661480 -26.647339 70.279851
    Oben rechts KachelX + 1 27918 KachelY 14517 -0.46498793 1.22661480 -26.641846 70.279851
    Unten links KachelX 27917 KachelY + 1 14518 -0.46508380 1.22658245 -26.647339 70.277998
    Unten rechts KachelX + 1 27918 KachelY + 1 14518 -0.46498793 1.22658245 -26.641846 70.277998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22661480-1.22658245) × R
    3.23499999999033e-05 × 6371000     		dl = 206.101849999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22661480-1.22658245) × R
    3.23499999999033e-05 × 6371000     		dr = 206.101849999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46508380--0.46498793) × cos(1.22661480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337426319013152 × 6371000     		do = 206.095868929347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46508380--0.46498793) × cos(1.22658245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337456771571917 × 6371000     		du = 206.114468979806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22661480)-sin(1.22658245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337426319013152-0.337456771571917)×R²
    abs(-0.46498793--0.46508380)×3.04525587652704e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04525587652704e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04525587652704e-05×40589641000000     		ar = 42478.65661989m²