Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27911 / 7929
↖ ↑ ↗
← N 79.439420°
W 26.680298°		 ← 111.94 m → N 79.439420°
W 26.674805°		 →
↑
111.94 m
↓
↑
111.94 m
↓
N 79.438414°
W 26.680298°		 ← 111.95 m →
12 531 m²		 N 79.438414°
W 26.674805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425895690917969 y=0.120994567871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425895690917969 × 216)
    floor (0.425895690917969 × 65536)
    floor (27911.5)     		tx = 27911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120994567871094 × 216)
    floor (0.120994567871094 × 65536)
    floor (7929.5)     		ty = 7929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27911 / 7929 ti = "16/27911/7929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27911/7929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27911 ÷ 216
    27911 ÷ 65536     		x = 0.425888061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7929 ÷ 216
    7929 ÷ 65536     		y = 0.120986938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425888061523438 × 2 - 1) × π
    -0.148223876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46565904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120986938476562 × 2 - 1) × π
    0.758026123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38140929932515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46565904} λ = -0.46565904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38140929932515))-π/2
    2×atan(10.8201409412297)-π/2
    2×1.47863788434632-π/2
    2.95727576869263-1.57079632675     		φ = 1.38647944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46565904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.680298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38647944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.439420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27911 KachelY 7929 -0.46565904 1.38647944 -26.680298 79.439420
    Oben rechts KachelX + 1 27912 KachelY 7929 -0.46556317 1.38647944 -26.674805 79.439420
    Unten links KachelX 27911 KachelY + 1 7930 -0.46565904 1.38646187 -26.680298 79.438414
    Unten rechts KachelX + 1 27912 KachelY + 1 7930 -0.46556317 1.38646187 -26.674805 79.438414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38647944-1.38646187) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dl = 111.938470000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38647944-1.38646187) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dr = 111.938470000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46565904--0.46556317) × cos(1.38647944) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183275033928943 × 6371000     		do = 111.942149270131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46565904--0.46556317) × cos(1.38646187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183292306294329 × 6371000     		du = 111.952699019668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38647944)-sin(1.38646187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183275033928943-0.183292306294329)×R²
    abs(-0.46556317--0.46565904)×1.72723653853735e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72723653853735e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72723653853735e-05×40589641000000     		ar = 12531.2233795651m²