Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27910 / 22025
↖ ↑ ↗
← N 50.705155°
W 26.685791°		 ← 386.86 m → N 50.705155°
W 26.680298°		 →
↑
386.85 m
↓
↑
386.85 m
↓
N 50.701676°
W 26.685791°		 ← 386.89 m →
149 661 m²		 N 50.701676°
W 26.680298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425880432128906 y=0.336082458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425880432128906 × 216)
    floor (0.425880432128906 × 65536)
    floor (27910.5)     		tx = 27910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336082458496094 × 216)
    floor (0.336082458496094 × 65536)
    floor (22025.5)     		ty = 22025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27910 / 22025 ti = "16/27910/22025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27910/22025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27910 ÷ 216
    27910 ÷ 65536     		x = 0.425872802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22025 ÷ 216
    22025 ÷ 65536     		y = 0.336074829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425872802734375 × 2 - 1) × π
    -0.14825439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46575492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336074829101562 × 2 - 1) × π
    0.327850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02997222523653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46575492} λ = -0.46575492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02997222523653))-π/2
    2×atan(2.80098803683846)-π/2
    2×1.22788412027941-π/2
    2.45576824055883-1.57079632675     		φ = 0.88497191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46575492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.685791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88497191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.705155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27910 KachelY 22025 -0.46575492 0.88497191 -26.685791 50.705155
    Oben rechts KachelX + 1 27911 KachelY 22025 -0.46565904 0.88497191 -26.680298 50.705155
    Unten links KachelX 27910 KachelY + 1 22026 -0.46575492 0.88491119 -26.685791 50.701676
    Unten rechts KachelX + 1 27911 KachelY + 1 22026 -0.46565904 0.88491119 -26.680298 50.701676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88497191-0.88491119) × R
    6.07200000000141e-05 × 6371000     		dl = 386.84712000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88497191-0.88491119) × R
    6.07200000000141e-05 × 6371000     		dr = 386.84712000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46575492--0.46565904) × cos(0.88497191) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633311240510553 × 6371000     		do = 386.859108566478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46575492--0.46565904) × cos(0.88491119) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633358230380886 × 6371000     		du = 386.887812398316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88497191)-sin(0.88491119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633311240510553-0.633358230380886)×R²
    abs(-0.46565904--0.46575492)×4.69898703333582e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69898703333582e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69898703333582e-05×40589641000000     		ar = 149660.884038015m²