Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27910 / 14520
↖ ↑ ↗
← N 70.274289°
W 26.685791°		 ← 206.17 m → N 70.274289°
W 26.680298°		 →
↑
206.17 m
↓
↑
206.17 m
↓
N 70.272435°
W 26.685791°		 ← 206.19 m →
42 508 m²		 N 70.272435°
W 26.680298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425880432128906 y=0.221565246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425880432128906 × 216)
    floor (0.425880432128906 × 65536)
    floor (27910.5)     		tx = 27910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221565246582031 × 216)
    floor (0.221565246582031 × 65536)
    floor (14520.5)     		ty = 14520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27910 / 14520 ti = "16/27910/14520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27910/14520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27910 ÷ 216
    27910 ÷ 65536     		x = 0.425872802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14520 ÷ 216
    14520 ÷ 65536     		y = 0.2215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425872802734375 × 2 - 1) × π
    -0.14825439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46575492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2215576171875 × 2 - 1) × π
    0.556884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74950508853357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46575492} λ = -0.46575492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74950508853357))-π/2
    2×atan(5.75175536179897)-π/2
    2×1.39865703056352-π/2
    2.79731406112704-1.57079632675     		φ = 1.22651773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46575492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.685791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22651773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.274289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27910 KachelY 14520 -0.46575492 1.22651773 -26.685791 70.274289
    Oben rechts KachelX + 1 27911 KachelY 14520 -0.46565904 1.22651773 -26.680298 70.274289
    Unten links KachelX 27910 KachelY + 1 14521 -0.46575492 1.22648537 -26.685791 70.272435
    Unten rechts KachelX + 1 27911 KachelY + 1 14521 -0.46565904 1.22648537 -26.680298 70.272435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22651773-1.22648537) × R
    3.23600000000646e-05 × 6371000     		dl = 206.165560000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22651773-1.22648537) × R
    3.23600000000646e-05 × 6371000     		dr = 206.165560000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46575492--0.46565904) × cos(1.22651773) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.337517694456332 × 6371000     		do = 206.173183184822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46575492--0.46565904) × cos(1.22648537) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.337548155368397 × 6371000     		du = 206.19179027804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22651773)-sin(1.22648537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337517694456332-0.337548155368397)×R²
    abs(-0.46565904--0.46575492)×3.04609120657662e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.04609120657662e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.04609120657662e-05×40589641000000     		ar = 42507.7278428169m²