Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27909 / 7924
↖ ↑ ↗
← N 79.444453°
W 26.691284°		 ← 111.89 m → N 79.444453°
W 26.685791°		 →
↑
111.94 m
↓
↑
111.94 m
↓
N 79.443446°
W 26.691284°		 ← 111.90 m →
12 525 m²		 N 79.443446°
W 26.685791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425865173339844 y=0.120918273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425865173339844 × 216)
    floor (0.425865173339844 × 65536)
    floor (27909.5)     		tx = 27909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120918273925781 × 216)
    floor (0.120918273925781 × 65536)
    floor (7924.5)     		ty = 7924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27909 / 7924 ti = "16/27909/7924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27909/7924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27909 ÷ 216
    27909 ÷ 65536     		x = 0.425857543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7924 ÷ 216
    7924 ÷ 65536     		y = 0.12091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425857543945312 × 2 - 1) × π
    -0.148284912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46585079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12091064453125 × 2 - 1) × π
    0.7581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38188866832135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46585079} λ = -0.46585079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38188866832135))-π/2
    2×atan(10.8253290247353)-π/2
    2×1.4786818021814-π/2
    2.95736360436279-1.57079632675     		φ = 1.38656728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46585079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.691284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38656728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.444453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27909 KachelY 7924 -0.46585079 1.38656728 -26.691284 79.444453
    Oben rechts KachelX + 1 27910 KachelY 7924 -0.46575492 1.38656728 -26.685791 79.444453
    Unten links KachelX 27909 KachelY + 1 7925 -0.46585079 1.38654971 -26.691284 79.443446
    Unten rechts KachelX + 1 27910 KachelY + 1 7925 -0.46575492 1.38654971 -26.685791 79.443446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38656728-1.38654971) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dl = 111.938470000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38656728-1.38654971) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dr = 111.938470000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46585079--0.46575492) × cos(1.38656728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183188681084233 × 6371000     		do = 111.889406008677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46585079--0.46575492) × cos(1.38654971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183205953732422 × 6371000     		du = 111.899955930947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38656728)-sin(1.38654971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183188681084233-0.183205953732422)×R²
    abs(-0.46575492--0.46585079)×1.72726481893759e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72726481893759e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72726481893759e-05×40589641000000     		ar = 12525.319389159m²