Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27909 / 7839
↖ ↑ ↗
← N 79.529646°
W 26.691284°		 ← 111 m → N 79.529646°
W 26.685791°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
N 79.528647°
W 26.691284°		 ← 111.01 m →
12 326 m²		 N 79.528647°
W 26.685791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425865173339844 y=0.119621276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425865173339844 × 216)
    floor (0.425865173339844 × 65536)
    floor (27909.5)     		tx = 27909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119621276855469 × 216)
    floor (0.119621276855469 × 65536)
    floor (7839.5)     		ty = 7839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27909 / 7839 ti = "16/27909/7839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27909/7839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27909 ÷ 216
    27909 ÷ 65536     		x = 0.425857543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7839 ÷ 216
    7839 ÷ 65536     		y = 0.119613647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425857543945312 × 2 - 1) × π
    -0.148284912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46585079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119613647460938 × 2 - 1) × π
    0.760772705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39003794125676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46585079} λ = -0.46585079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39003794125676))-π/2
    2×atan(10.9139080225731)-π/2
    2×1.47942524721338-π/2
    2.95885049442676-1.57079632675     		φ = 1.38805417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46585079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.691284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38805417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.529646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27909 KachelY 7839 -0.46585079 1.38805417 -26.691284 79.529646
    Oben rechts KachelX + 1 27910 KachelY 7839 -0.46575492 1.38805417 -26.685791 79.529646
    Unten links KachelX 27909 KachelY + 1 7840 -0.46585079 1.38803674 -26.691284 79.528647
    Unten rechts KachelX + 1 27910 KachelY + 1 7840 -0.46575492 1.38803674 -26.685791 79.528647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38805417-1.38803674) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38805417-1.38803674) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46585079--0.46575492) × cos(1.38805417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181726750612866 × 6371000     		do = 110.996476756176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46585079--0.46575492) × cos(1.38803674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181743890359503 × 6371000     		du = 111.006945503803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38805417)-sin(1.38803674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181726750612866-0.181743890359503)×R²
    abs(-0.46575492--0.46585079)×1.71397466370016e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71397466370016e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71397466370016e-05×40589641000000     		ar = 12326.3548455963m²