Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27906 / 7170
↖ ↑ ↗
← N 80.176839°
W 26.707764°		 ← 104.21 m → N 80.176839°
W 26.702271°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
N 80.175902°
W 26.707764°		 ← 104.22 m →
10 862 m²		 N 80.175902°
W 26.702271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425819396972656 y=0.109413146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425819396972656 × 216)
    floor (0.425819396972656 × 65536)
    floor (27906.5)     		tx = 27906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109413146972656 × 216)
    floor (0.109413146972656 × 65536)
    floor (7170.5)     		ty = 7170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27906 / 7170 ti = "16/27906/7170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27906/7170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27906 ÷ 216
    27906 ÷ 65536     		x = 0.425811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7170 ÷ 216
    7170 ÷ 65536     		y = 0.109405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425811767578125 × 2 - 1) × π
    -0.14837646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46613841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109405517578125 × 2 - 1) × π
    0.78118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45417751294839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46613841} λ = -0.46613841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45417751294839))-π/2
    2×atan(11.6368584463269)-π/2
    2×1.48507307837819-π/2
    2.97014615675638-1.57079632675     		φ = 1.39934983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46613841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.707764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39934983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.176839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27906 KachelY 7170 -0.46613841 1.39934983 -26.707764 80.176839
    Oben rechts KachelX + 1 27907 KachelY 7170 -0.46604254 1.39934983 -26.702271 80.176839
    Unten links KachelX 27906 KachelY + 1 7171 -0.46613841 1.39933347 -26.707764 80.175902
    Unten rechts KachelX + 1 27907 KachelY + 1 7171 -0.46604254 1.39933347 -26.702271 80.175902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39934983-1.39933347) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dl = 104.229560000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39934983-1.39933347) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dr = 104.229560000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46613841--0.46604254) × cos(1.39934983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170607816781706 × 6371000     		do = 104.205167956664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46613841--0.46604254) × cos(1.39933347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170623936905145 × 6371000     		du = 104.215013930912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39934983)-sin(1.39933347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170607816781706-0.170623936905145)×R²
    abs(-0.46604254--0.46613841)×1.61201234396557e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61201234396557e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61201234396557e-05×40589641000000     		ar = 10861.7719268178m²