Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27903 / 7379
↖ ↑ ↗
← N 79.979023°
W 26.724243°		 ← 106.28 m → N 79.979023°
W 26.718750°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
N 79.978068°
W 26.724243°		 ← 106.29 m →
11 295 m²		 N 79.978068°
W 26.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425773620605469 y=0.112602233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425773620605469 × 216)
    floor (0.425773620605469 × 65536)
    floor (27903.5)     		tx = 27903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112602233886719 × 216)
    floor (0.112602233886719 × 65536)
    floor (7379.5)     		ty = 7379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27903 / 7379 ti = "16/27903/7379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27903/7379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27903 ÷ 216
    27903 ÷ 65536     		x = 0.425765991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7379 ÷ 216
    7379 ÷ 65536     		y = 0.112594604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425765991210938 × 2 - 1) × π
    -0.148468017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46642603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112594604492188 × 2 - 1) × π
    0.774810791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43413988890721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46642603} λ = -0.46642603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43413988890721))-π/2
    2×atan(11.4060040625084)-π/2
    2×1.48334680858045-π/2
    2.9666936171609-1.57079632675     		φ = 1.39589729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46642603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.724243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39589729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.979023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27903 KachelY 7379 -0.46642603 1.39589729 -26.724243 79.979023
    Oben rechts KachelX + 1 27904 KachelY 7379 -0.46633016 1.39589729 -26.718750 79.979023
    Unten links KachelX 27903 KachelY + 1 7380 -0.46642603 1.39588061 -26.724243 79.978068
    Unten rechts KachelX + 1 27904 KachelY + 1 7380 -0.46633016 1.39588061 -26.718750 79.978068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39589729-1.39588061) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dl = 106.268279999236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39589729-1.39588061) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dr = 106.268279999236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46642603--0.46633016) × cos(1.39589729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174008715558855 × 6371000     		do = 106.282395336755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46642603--0.46633016) × cos(1.39588061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174025141066442 × 6371000     		du = 106.292427835905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39589729)-sin(1.39588061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174008715558855-0.174025141066442)×R²
    abs(-0.46633016--0.46642603)×1.64255075874309e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64255075874309e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64255075874309e-05×40589641000000     		ar = 11294.9804153086m²