Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27902 / 7378
↖ ↑ ↗
← N 79.979979°
W 26.729736°		 ← 106.28 m → N 79.979979°
W 26.724243°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
N 79.979023°
W 26.729736°		 ← 106.29 m →
11 295 m²		 N 79.979023°
W 26.724243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425758361816406 y=0.112586975097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425758361816406 × 216)
    floor (0.425758361816406 × 65536)
    floor (27902.5)     		tx = 27902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112586975097656 × 216)
    floor (0.112586975097656 × 65536)
    floor (7378.5)     		ty = 7378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27902 / 7378 ti = "16/27902/7378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27902/7378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27902 ÷ 216
    27902 ÷ 65536     		x = 0.425750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7378 ÷ 216
    7378 ÷ 65536     		y = 0.112579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425750732421875 × 2 - 1) × π
    -0.14849853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46652191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112579345703125 × 2 - 1) × π
    0.77484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43423576270645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46652191} λ = -0.46652191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43423576270645))-π/2
    2×atan(11.4070976518745)-π/2
    2×1.48335514962501-π/2
    2.96671029925002-1.57079632675     		φ = 1.39591397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46652191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.729736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39591397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.979979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27902 KachelY 7378 -0.46652191 1.39591397 -26.729736 79.979979
    Oben rechts KachelX + 1 27903 KachelY 7378 -0.46642603 1.39591397 -26.724243 79.979979
    Unten links KachelX 27902 KachelY + 1 7379 -0.46652191 1.39589729 -26.729736 79.979023
    Unten rechts KachelX + 1 27903 KachelY + 1 7379 -0.46642603 1.39589729 -26.724243 79.979023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39591397-1.39589729) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dl = 106.268280000651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39591397-1.39589729) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dr = 106.268280000651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46652191--0.46642603) × cos(1.39591397) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.173992290002854 × 6371000     		do = 106.283447856825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46652191--0.46642603) × cos(1.39589729) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.174008715558855 × 6371000     		du = 106.293481432017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39591397)-sin(1.39589729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173992290002854-0.174008715558855)×R²
    abs(-0.46642603--0.46652191)×1.64255560007598e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.64255560007598e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.64255560007598e-05×40589641000000     		ar = 11295.0923220971m²