Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27900 / 37132
↖ ↑ ↗
← N 61.254386°
W103.370361°		 ← 146.86 m → N 61.254386°
W103.367615°		 →
↑
146.92 m
↓
↑
146.92 m
↓
N 61.253065°
W103.370361°		 ← 146.86 m →
21 576 m²		 N 61.253065°
W103.367615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212863922119141 y=0.283298492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212863922119141 × 217)
    floor (0.212863922119141 × 131072)
    floor (27900.5)     		tx = 27900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.283298492431641 × 217)
    floor (0.283298492431641 × 131072)
    floor (37132.5)     		ty = 37132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27900 / 37132 ti = "17/27900/37132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27900/37132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27900 ÷ 217
    27900 ÷ 131072     		x = 0.212860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37132 ÷ 217
    37132 ÷ 131072     		y = 0.283294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.57427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.80415315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.283294677734375 × 2 - 1) × π
    0.43341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.36159969680808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80415315} λ = -1.80415315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36159969680808))-π/2
    2×atan(3.90243101768063)-π/2
    2×1.31994352273239-π/2
    2.63988704546478-1.57079632675     		φ = 1.06909072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80415315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.370361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06909072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.254386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27900 KachelY 37132 -1.80415315 1.06909072 -103.370361 61.254386
    Oben rechts KachelX + 1 27901 KachelY 37132 -1.80410522 1.06909072 -103.367615 61.254386
    Unten links KachelX 27900 KachelY + 1 37133 -1.80415315 1.06906766 -103.370361 61.253065
    Unten rechts KachelX + 1 27901 KachelY + 1 37133 -1.80410522 1.06906766 -103.367615 61.253065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06909072-1.06906766) × R
    2.30599999999637e-05 × 6371000     		dl = 146.915259999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06909072-1.06906766) × R
    2.30599999999637e-05 × 6371000     		dr = 146.915259999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80415315--1.80410522) × cos(1.06909072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.48092165131218 × 6371000     		do = 146.855211715729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80415315--1.80410522) × cos(1.06906766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.480941869352334 × 6371000     		du = 146.861385537513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06909072)-sin(1.06906766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48092165131218-0.480941869352334)×R²
    abs(-1.80410522--1.80415315)×2.02180401542851e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.02180401542851e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.02180401542851e-05×40589641000000     		ar = 21575.7251269132m²