Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2790 / 5914
↖ ↑ ↗
← S 62.144976°
W 57.392578°		 ← 2 283.15 m → S 62.144976°
W 57.348633°		 →
↑
2 282.35 m
↓
↑
2 282.35 m
↓
S 62.165502°
W 57.392578°		 ← 2 281.60 m →
5 209 163 m²		 S 62.165502°
W 57.348633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34063720703125 y=0.72198486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34063720703125 × 213)
    floor (0.34063720703125 × 8192)
    floor (2790.5)     		tx = 2790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72198486328125 × 213)
    floor (0.72198486328125 × 8192)
    floor (5914.5)     		ty = 5914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2790 / 5914 ti = "13/2790/5914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2790/5914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2790 ÷ 213
    2790 ÷ 8192     		x = 0.340576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5914 ÷ 213
    5914 ÷ 8192     		y = 0.721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.31884765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00168945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.44384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39438853614819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00168945} λ = -1.00168945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39438853614819))-π/2
    2×atan(0.2479846236506)-π/2
    2×0.243080940692729-π/2
    0.486161881385458-1.57079632675     		φ = -1.08463445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00168945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08463445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.144976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2790 KachelY 5914 -1.00168945 -1.08463445 -57.392578 -62.144976
    Oben rechts KachelX + 1 2791 KachelY 5914 -1.00092246 -1.08463445 -57.348633 -62.144976
    Unten links KachelX 2790 KachelY + 1 5915 -1.00168945 -1.08499269 -57.392578 -62.165502
    Unten rechts KachelX + 1 2791 KachelY + 1 5915 -1.00092246 -1.08499269 -57.348633 -62.165502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08463445--1.08499269) × R
    0.000358239999999954 × 6371000     		dl = 2282.34703999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08463445--1.08499269) × R
    0.000358239999999954 × 6371000     		dr = 2282.34703999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00168945--1.00092246) × cos(-1.08463445) × R
    0.000766990000000023 × 0.467235927831058 × 6371000     		do = 2283.14522619346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00168945--1.00092246) × cos(-1.08499269) × R
    0.000766990000000023 × 0.46691916616662 × 6371000     		du = 2281.59737244565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08463445)-sin(-1.08499269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467235927831058-0.46691916616662)×R²
    abs(-1.00092246--1.00168945)×0.000316761664438225×R²
    0.000766990000000023×0.000316761664438225×6371000²
    0.000766990000000023×0.000316761664438225×40589641000000     		ar = 5209163.43489269m²