Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2790 / 1702
↖ ↑ ↗
← N 80.510360°
W118.696289°		 ← 402.81 m → N 80.510360°
W118.674316°		 →
↑
402.90 m
↓
↑
402.90 m
↓
N 80.506737°
W118.696289°		 ← 402.96 m →
162 324 m²		 N 80.506737°
W118.674316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170318603515625 y=0.103912353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170318603515625 × 214)
    floor (0.170318603515625 × 16384)
    floor (2790.5)     		tx = 2790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103912353515625 × 214)
    floor (0.103912353515625 × 16384)
    floor (1702.5)     		ty = 1702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2790 / 1702 ti = "14/2790/1702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2790/1702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2790 ÷ 214
    2790 ÷ 16384     		x = 0.1702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1702 ÷ 214
    1702 ÷ 16384     		y = 0.1038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.07164105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1038818359375 × 2 - 1) × π
    0.792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48888382827332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07164105} λ = -2.07164105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48888382827332))-π/2
    2×atan(12.0478211754628)-π/2
    2×1.48798359602389-π/2
    2.97596719204778-1.57079632675     		φ = 1.40517087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07164105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.696289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40517087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.510360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2790 KachelY 1702 -2.07164105 1.40517087 -118.696289 80.510360
    Oben rechts KachelX + 1 2791 KachelY 1702 -2.07125756 1.40517087 -118.674316 80.510360
    Unten links KachelX 2790 KachelY + 1 1703 -2.07164105 1.40510763 -118.696289 80.506737
    Unten rechts KachelX + 1 2791 KachelY + 1 1703 -2.07125756 1.40510763 -118.674316 80.506737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40517087-1.40510763) × R
    6.32400000000199e-05 × 6371000     		dl = 402.902040000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40517087-1.40510763) × R
    6.32400000000199e-05 × 6371000     		dr = 402.902040000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07164105--2.07125756) × cos(1.40517087) × R
    0.000383490000000375 × 0.164869260885774 × 6371000     		do = 402.811016612886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07164105--2.07125756) × cos(1.40510763) × R
    0.000383490000000375 × 0.164931635143825 × 6371000     		du = 402.963410322671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40517087)-sin(1.40510763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164869260885774-0.164931635143825)×R²
    abs(-2.07125756--2.07164105)×6.23742580504738e-05×R²
    0.000383490000000375×6.23742580504738e-05×6371000²
    0.000383490000000375×6.23742580504738e-05×40589641000000     		ar = 162324.080250504m²