Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 279 / 815
↖ ↑ ↗
← S 72.289067°
W 81.914062°		 ← 11.892 km → S 72.289067°
W 81.562500°		 →
↑
11.858 km
↓
↑
11.858 km
↓
S 72.395706°
W 81.914062°		 ← 11.823 km →
140.604 km²		 S 72.395706°
W 81.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27294921875 y=0.79638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27294921875 × 210)
    floor (0.27294921875 × 1024)
    floor (279.5)     		tx = 279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79638671875 × 210)
    floor (0.79638671875 × 1024)
    floor (815.5)     		ty = 815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 279 / 815 ti = "10/279/815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/279/815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 279 ÷ 210
    279 ÷ 1024     		x = 0.2724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 815 ÷ 210
    815 ÷ 1024     		y = 0.7958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2724609375 × 2 - 1) × π
    -0.455078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.42967009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7958984375 × 2 - 1) × π
    -0.591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.85918471486426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42967009} λ = -1.42967009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85918471486426))-π/2
    2×atan(0.15579959970065)-π/2
    2×0.15455704548627-π/2
    0.30911409097254-1.57079632675     		φ = -1.26168224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42967009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.914062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26168224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.289067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 279 KachelY 815 -1.42967009 -1.26168224 -81.914062 -72.289067
    Oben rechts KachelX + 1 280 KachelY 815 -1.42353417 -1.26168224 -81.562500 -72.289067
    Unten links KachelX 279 KachelY + 1 816 -1.42967009 -1.26354343 -81.914062 -72.395706
    Unten rechts KachelX + 1 280 KachelY + 1 816 -1.42353417 -1.26354343 -81.562500 -72.395706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26168224--1.26354343) × R
    0.00186118999999985 × 6371000     		dl = 11857.641489999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26168224--1.26354343) × R
    0.00186118999999985 × 6371000     		dr = 11857.641489999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42967009--1.42353417) × cos(-1.26168224) × R
    0.00613591999999996 × 0.304214831957139 × 6371000     		do = 11892.3498806162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42967009--1.42353417) × cos(-1.26354343) × R
    0.00613591999999996 × 0.302441330058417 × 6371000     		du = 11823.020239593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26168224)-sin(-1.26354343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304214831957139-0.302441330058417)×R²
    abs(-1.42353417--1.42967009)×0.00177350189872233×R²
    0.00613591999999996×0.00177350189872233×6371000²
    0.00613591999999996×0.00177350189872233×40589641000000     		ar = 140604218.93212m²