Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 279 / 811
↖ ↑ ↗
← S 71.856229°
W 81.914062°		 ← 12.173 km → S 71.856229°
W 81.562500°		 →
↑
12.138 km
↓
↑
12.138 km
↓
S 71.965388°
W 81.914062°		 ← 12.103 km →
147.329 km²		 S 71.965388°
W 81.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27294921875 y=0.79248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27294921875 × 210)
    floor (0.27294921875 × 1024)
    floor (279.5)     		tx = 279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79248046875 × 210)
    floor (0.79248046875 × 1024)
    floor (811.5)     		ty = 811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 279 / 811 ti = "10/279/811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/279/811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 279 ÷ 210
    279 ÷ 1024     		x = 0.2724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 811 ÷ 210
    811 ÷ 1024     		y = 0.7919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2724609375 × 2 - 1) × π
    -0.455078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.42967009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7919921875 × 2 - 1) × π
    -0.583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.83464102225879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42967009} λ = -1.42967009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83464102225879))-π/2
    2×atan(0.159670809747979)-π/2
    2×0.158334272378104-π/2
    0.316668544756208-1.57079632675     		φ = -1.25412778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42967009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.914062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25412778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.856229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 279 KachelY 811 -1.42967009 -1.25412778 -81.914062 -71.856229
    Oben rechts KachelX + 1 280 KachelY 811 -1.42353417 -1.25412778 -81.562500 -71.856229
    Unten links KachelX 279 KachelY + 1 812 -1.42967009 -1.25603296 -81.914062 -71.965388
    Unten rechts KachelX + 1 280 KachelY + 1 812 -1.42353417 -1.25603296 -81.562500 -71.965388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25412778--1.25603296) × R
    0.00190518000000006 × 6371000     		dl = 12137.9017800004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25412778--1.25603296) × R
    0.00190518000000006 × 6371000     		dr = 12137.9017800004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42967009--1.42353417) × cos(-1.25412778) × R
    0.00613591999999996 × 0.311402487470188 × 6371000     		do = 12173.329324099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42967009--1.42353417) × cos(-1.25603296) × R
    0.00613591999999996 × 0.30959147256103 × 6371000     		du = 12102.5332264855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25412778)-sin(-1.25603296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311402487470188-0.30959147256103)×R²
    abs(-1.42353417--1.42967009)×0.00181101490915764×R²
    0.00613591999999996×0.00181101490915764×6371000²
    0.00613591999999996×0.00181101490915764×40589641000000     		ar = 147329062.195386m²