Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27897 / 7361
↖ ↑ ↗
← N 79.996214°
W 26.757202°		 ← 106.11 m → N 79.996214°
W 26.751709°		 →
↑
106.14 m
↓
↑
106.14 m
↓
N 79.995260°
W 26.757202°		 ← 106.12 m →
11 263 m²		 N 79.995260°
W 26.751709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425682067871094 y=0.112327575683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425682067871094 × 216)
    floor (0.425682067871094 × 65536)
    floor (27897.5)     		tx = 27897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112327575683594 × 216)
    floor (0.112327575683594 × 65536)
    floor (7361.5)     		ty = 7361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27897 / 7361 ti = "16/27897/7361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27897/7361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27897 ÷ 216
    27897 ÷ 65536     		x = 0.425674438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7361 ÷ 216
    7361 ÷ 65536     		y = 0.112319946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425674438476562 × 2 - 1) × π
    -0.148651123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46700128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112319946289062 × 2 - 1) × π
    0.775360107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43586561729353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46700128} λ = -0.46700128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43586561729353))-π/2
    2×atan(11.4257047215976)-π/2
    2×1.48349682696105-π/2
    2.9669936539221-1.57079632675     		φ = 1.39619733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46700128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.757202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39619733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.996214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27897 KachelY 7361 -0.46700128 1.39619733 -26.757202 79.996214
    Oben rechts KachelX + 1 27898 KachelY 7361 -0.46690540 1.39619733 -26.751709 79.996214
    Unten links KachelX 27897 KachelY + 1 7362 -0.46700128 1.39618067 -26.757202 79.995260
    Unten rechts KachelX + 1 27898 KachelY + 1 7362 -0.46690540 1.39618067 -26.751709 79.995260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39619733-1.39618067) × R
    1.66600000000017e-05 × 6371000     		dl = 106.140860000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39619733-1.39618067) × R
    1.66600000000017e-05 × 6371000     		dr = 106.140860000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46700128--0.46690540) × cos(1.39619733) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.173713245107323 × 6371000     		do = 106.112992869403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46700128--0.46690540) × cos(1.39618067) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.1737296517892 × 6371000     		du = 106.123014915309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39619733)-sin(1.39618067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173713245107323-0.1737296517892)×R²
    abs(-0.46690540--0.46700128)×1.64066818773567e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.64066818773567e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.64066818773567e-05×40589641000000     		ar = 11263.4561947958m²