Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27891 / 37136
↖ ↑ ↗
← N 61.249102°
W103.395081°		 ← 146.91 m → N 61.249102°
W103.392334°		 →
↑
146.92 m
↓
↑
146.92 m
↓
N 61.247781°
W103.395081°		 ← 146.92 m →
21 584 m²		 N 61.247781°
W103.392334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212795257568359 y=0.283329010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212795257568359 × 217)
    floor (0.212795257568359 × 131072)
    floor (27891.5)     		tx = 27891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.283329010009766 × 217)
    floor (0.283329010009766 × 131072)
    floor (37136.5)     		ty = 37136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27891 / 37136 ti = "17/27891/37136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27891/37136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27891 ÷ 217
    27891 ÷ 131072     		x = 0.212791442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37136 ÷ 217
    37136 ÷ 131072     		y = 0.2833251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212791442871094 × 2 - 1) × π
    -0.574417114257812 × 3.1415926535     		Λ = -1.80458459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2833251953125 × 2 - 1) × π
    0.433349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36140794920959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80458459} λ = -1.80458459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36140794920959))-π/2
    2×atan(3.90168280764078)-π/2
    2×1.31989741107052-π/2
    2.63979482214104-1.57079632675     		φ = 1.06899850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80458459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.395081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06899850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.249102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27891 KachelY 37136 -1.80458459 1.06899850 -103.395081 61.249102
    Oben rechts KachelX + 1 27892 KachelY 37136 -1.80453665 1.06899850 -103.392334 61.249102
    Unten links KachelX 27891 KachelY + 1 37137 -1.80458459 1.06897544 -103.395081 61.247781
    Unten rechts KachelX + 1 27892 KachelY + 1 37137 -1.80453665 1.06897544 -103.392334 61.247781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06899850-1.06897544) × R
    2.30599999999637e-05 × 6371000     		dl = 146.915259999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06899850-1.06897544) × R
    2.30599999999637e-05 × 6371000     		dr = 146.915259999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80458459--1.80453665) × cos(1.06899850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.481002504403885 × 6371000     		do = 146.910545849314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80458459--1.80453665) × cos(1.06897544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.481022721421207 × 6371000     		du = 146.91672064679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06899850)-sin(1.06897544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481002504403885-0.481022721421207)×R²
    abs(-1.80453665--1.80458459)×2.02170173220773e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02170173220773e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02170173220773e-05×40589641000000     		ar = 21583.8546271561m²